Respuesta:
Para obtener la inversa de una función primero debemos de verificar si es inyectiva.
Verificación:
Para verificar si la función es inyectiva debe de cumplir con la siguiente condición:
[tex]f(x_1) = f(x_2)[/tex]
Comprobamos:
[tex]\frac{5x_1-3}{x_1} =\frac{5x_2-3}{x_2}[/tex]
Simplificamos
[tex]5 - \frac{3}{x_1} = 5 - \frac{3}{x_2}[/tex]
Restamos 5 en ambos lados de la ecuación
[tex]-\frac{3}{x_1} = -\frac{3}{x_2}[/tex]
Multiplicamos por (x₁ * x₂) en ambos lados
[tex]-3x_2 = -3x_1[/tex]
Dividimos por -3
[tex]x_2 = x_1[/tex]
Volteamos el sentido de la igualdad
[tex]x_1 = x_2[/tex]
Es INYECTIVA.
Obtenemos su inversa:
Reemplazamos y en x:
[tex]x = \frac{5y -3}{y}[/tex]
Despejamos y:
[tex]x*y = 5y-3[/tex]
[tex]x*y-5y=-3[/tex]
[tex]y(x-5)=-3[/tex]
[tex]y = \frac{-3}{x-5}[/tex]
[tex]y = \frac{3}{5-x}[/tex]
La inversa es:
f(x)⁻¹ = 3/(5-x)
Espero haberte ayudado
