Si un punto dista 15 unidades del origen del plano cartesiano y la pendiente que lo une al punto A( 4 , 8 ) es m = -4/13, dicho punto es P( -9 , 12 )
Datos:
Utilizamos la ecuación punto-pendiente de la recta para el segmento PA:
[tex]y_1-y_0=m(x_1-x_0)[/tex]
Introducimos los datos de los puntos y la pendiente, y simplificamos:
[tex]8-b=-4/13(4-a)\\\\8-b=-\frac{16}{13} +\frac{4a}{13}\\ \\104-13b=-16+4a \\\\4a+13b=120[/tex]
Despejamos a:
[tex]4a+13b=120\\\\a=30-\frac{13b}{4}[/tex]
La ecuación de la distancia del punto al origen es:
[tex]\sqrt{a^2+b^2} =15\\\\a^2+b^2=225[/tex]
Sustituimos el valor de a que tenemos:
[tex]a^2+b^2=225 \rightarrow (30-\frac{13b}{4})^2+b^2=225\\\\900-2(30)(\frac{13b}{4})+(\frac{13b}{4})^2 + b^2 =225\\\\900-195b+\frac{169b^2}{16}+b^2=225\\ \\\frac{185}{16}b^2-195b+675=0[/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática:
[tex]b_1=\frac{180}{37} , b_2=12[/tex]
Ahora utilizamos la ecuación en la cual despejamos a para ver cuál de los dos valores de b nos da un valor de a en el segundo cuadrante:
[tex]a=30-\frac{13b}{4}\\\\a_1=30-\frac{13(180/37)}{4}=\frac{525}{37} \\\\a_2=30-\frac{13(12)}{4} =-9[/tex]
Por lo tanto, el punto es [tex]P(-9,12)[/tex]
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