Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, vamos a abordarlo paso a paso:
a. De cuántas formas diferentes podría responder el examen:
Cada pregunta tiene 4 opciones de respuesta, y hay 10 preguntas en total. Por lo tanto, el número total de formas diferentes en que un estudiante podría responder el examen al azar es \(4^{10}\), ya que para cada una de las 10 preguntas hay 4 opciones posibles.
\[ \text{Total de formas diferentes} = 4^{10} = 1,048,576 \]
b. Probabilidades:
Para calcular la probabilidad de obtener una determinada puntuación en el examen, primero necesitamos calcular el número de formas diferentes en que un estudiante puede obtener esa puntuación, y luego dividirlo por el total de formas posibles de responder el examen.
- Probabilidad de obtener 10 en el examen:
Hay solo una forma de obtener todas las respuestas correctas, ya que el estudiante debe seleccionar la respuesta correcta para cada una de las 10 preguntas. Por lo tanto, la probabilidad de obtener 10 en el examen es:
\[ P(10) = \frac{1}{4^{10}} \]
- Probabilidad de obtener 1 en el examen:
De manera similar, hay solo una forma de obtener todas las respuestas incorrectas, ya que el estudiante debe seleccionar una respuesta incorrecta para cada una de las 10 preguntas. Por lo tanto, la probabilidad de obtener 1 en el examen es también:
\[ P(1) = \frac{1}{4^{10}} \]
- Probabilidad de obtener 0 en el examen:
Si el estudiante responde todas las preguntas al azar, la probabilidad de que obtenga 0 es simplemente 0, ya que al menos una de las respuestas tendría que ser correcta.
\[ P(0) = 0 \]
- Probabilidad de obtener 6 en el examen:
Para obtener exactamente 6 respuestas correctas, el estudiante debe seleccionar 6 respuestas correctas de las 10 preguntas y 4 respuestas incorrectas para las restantes. El número de formas de hacer esto se puede calcular utilizando combinaciones. La fórmula de combinaciones es \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), donde \(n\) es el número total de elementos y \(k\) es el número de elementos a elegir. Entonces, la probabilidad de obtener 6 en el examen es:
\[ P(6) = \frac{{C(10,6) \cdot 3^4}}{4^{10}} \]
- Probabilidad de ganar el examen (aprobar con 6 o más):
La probabilidad de ganar el examen es la suma de las probabilidades de obtener 6, 7, 8, 9 o 10 respuestas correctas:
\[ P(\text{ganar}) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) \]
- Probabilidad de perder el examen (obtener menos de 6):
La probabilidad de perder el examen es la suma de las probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3, 4 o 5 respuestas correctas:
\[ P(\text{perder}) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \]
- Probabilidad de obtener más de 8 en el examen:
La probabilidad de obtener más de 8 en el examen es la suma de las probabilidades de obtener 9 o 10 respuestas correctas:
\[ P(\text{más de 8}) = P(9) + P(10) \]
- Nota con mayor probabilidad de obtener en el examen:
Para encontrar la nota con mayor probabilidad de obtener en el examen, podemos calcular las probabilidades para cada posible puntuación (de 0 a 10) y encontrar la que tiene la mayor probabilidad. Luego, calculamos la probabilidad de esa nota como el número de formas de obtener esa puntuación dividido por el total de formas posibles.
Podemos calcular estas probabilidades usando las fórmulas y procedimientos mencionados anteriormente.
