Tema: Álgebra lineal - Espacios vectoriales, producto interno, bases, proyección ortogonal, distancia a un subespacio, cambio de base.

Contenido:

Apartado a)

Se pide encontrar una base ortonormal para el espacio vectorial P₁[0, 1] de polinomios de grado como máximo 1, con dominio en el intervalo [0, 1].

Apartado b)

Se solicita escribir el polinomio f(x) = 1 + 2x + 3x² como suma de dos polinomios p(x) ∈ H y q(x) ∈ H¹, donde H = P₁[0, 1] es un subespacio de P₂[0, 1].

Apartado c)

Se busca determinar si el polinomio f(x) está más cerca del subespacio H o de su complemento ortogonal H¹. Para ello, se debe calcular la distancia de f(x) a cada uno de estos subespacios.

Apartado d)

Se pide demostrar que el conjunto de vectores β = {1, √3(2x-1), 3x²-3x+1/2} es una base del espacio vectorial P₂[0, 1].

Apartado e)

Si la matriz de cambio de base de la base canónica a la base β es Pβe, se solicita encontrar las coordenadas del vector f(x) en la base β, es decir, [f(x)]β.

Apartado f)

Se pregunta qué relación existe entre la base canónica de ℝ³ y los vectores coordenados de la base β.

Apartado g)

Se debe dibujar el subespacio generado por los vectores coordenados de la base H.

Apartado h)

Se solicita dibujar el subespacio generado por los vectores coordenados de la base H¹.

Apartado i)

Se busca determinar si el vector [f(x)]β está más cerca del plano XY o del eje Z.