Partie A. Étude d'un cas particulier
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0;1;J).
on considère les points
A(2:5), B(6:1) et C(2:0).
1. On considère l'ensemble
des points M(x; y) véri-
fiant l'équation x²+
y2-7x-5y+10=0.
a. Vérifier que les points A, B et C appartiennent à
l'ensemble .
b. Montrer que est un cercle dont on précisera les
coordonnées du
centre 2 et le rayon.
Que représente ce cercle pour le triangle ABC?
2. a. Déterminer l'équation réduite de la hauteur d₁
issue
de B du triangle ABC.
b. Montrer qu'une équation cartésienne de la hauteur
d₂ issue de C du triangle ABC est-x+y+2=0.
c. Déterminer alors les coordonnées de l'orthocentre
H du triangle ABC.
3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection
de la hauteur d₂ avec le cercle 6. L'un des points d'inter-
section est le point C, on appellera H' le second point.
4. Démontrer que H' est le symétrique de H par rap-
port à la droite (AB).
Partie B. Une démonstration utilisant
les configurations du plan
On considère un triangle non rectangle ABC, on
note 2 le centre de son cercle circonscrit et H son
orthocentre. On considère D le symétrique de A par rap-
port à et le symétrique de H par rapport à (BC).
1. Justifier que les droites (BH) et (CD), d'une part, et
(BD) et (CH), d'autre part, sont parallèles.
2. En déduire la nature du quadrilatère BHCD. On note
O le centre de ce quadrilatère.
3. Justifier que les droites (BC) et (DH) sont parallèles.
En déduire que appartient au cercle circonscrit C.