Para encontrar \( \frac{dy}{dx} \) en la función dada \( 6 \sqrt[4]{y^3} - 5x^2 = 3\sin(2x+4y) + 8 \), primero necesitamos diferenciar implícitamente ambos lados de la ecuación con respecto a \( x \).
Diferenciemos ambos lados de la ecuación:
\[ \frac{d}{dx} \left(6 \sqrt[4]{y^3} - 5x^2\right) = \frac{d}{dx} \left(3\sin(2x+4y) + 8\right) \]
Para el lado izquierdo, usamos la regla de la cadena y la regla del producto:
\[ \frac{d}{dx} \left(6 \sqrt[4]{y^3}\right) - \frac{d}{dx} (5x^2) = \frac{d}{dx} \left(3\sin(2x+4y)\right) + \frac{d}{dx} (8) \]
Usando las reglas de derivación adecuadas, obtenemos:
\[ 6 \left(\frac{3}{4}y^{-\frac{1}{4}}\right) \frac{dy}{dx} - 10x = 6\cos(2x+4y) \cdot (2+4y') + 0 \]
Dado que queremos encontrar \( \frac{dy}{dx} \), podemos reorganizar la ecuación y resolverla en términos de \( \frac{dy}{dx} \):
\[ 6 \left(\frac{3}{4}y^{-\frac{1}{4}}\right) \frac{dy}{dx} = 10x + 6\cos(2x+4y) \cdot (2+4y') \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x + 6\cos(2x+4y) \cdot (2+4y')}{6 \left(\frac{3}{4}y^{-\frac{1}{4}}\right)} \]
Esta sería la expresión para \( \frac{dy}{dx} \) en términos de \( x \), \( y \), y \( y' \) (la derivada de \( y \) con respecto a \( x \)). Si tienes el valor de \( y \) y su derivada en un punto específico, puedes sustituir estos valores en la ecuación para encontrar la pendiente de la tangente en ese punto.
