Problema 1:
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4} y sea la aplicación A = {(x, y) / x ∈ A, y ∈
B, x > y}. Hallar la aplicación inversa, A−1
, y decir si A y A−1
son funciones. Justificar.
Del enunciado tenemos que la aplicación A es el conjunto:
A = {(3, 2); (4, 2); (4, 3)}
Entonces, la aplicación inversa la encontramos invirtiendo el orden de los pares ordenados ya que
si A : A → B su inversa será una aplicación tal que A−1
: B → A. Por lo tanto
A
−1 = {(2, 3); (2, 4); (3, 4)}
De este modo hemos encontrado la aplicación inversa.
Otra opción válida para resolver el ejercicio es simplemente decir que la aplicación inversa es:
A−1 = {(x, y) / x ∈ B, y ∈ A, x < y}
= {(y, x) / y ∈ B, x ∈ A, x > y}
La segunda parte del ejercicio pide ver si A y A−1
son funciones. Para que sean funciones deben
satisfacer que cada elemento del conjunto de partida esté relacionado con uno y sólo un elemento del codominio. La aplicación A : A → B tiene dos elementos, 1 y 2, del conjunto A
que no están relacionados y el elemento 4 está relacionado dos veces, por lo tanto no es función. Lo
mismo pasa con A−1
, ya que el elemento 4 del conjunto B no está relacionado y el 2 está relacionado
dos veces.
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