Respuesta :
La fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo menor para elevar el cuerpo es de 1225 N
Empleamos el Principio de Pascal
Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.
Por el Principio de Pascal
[tex]\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}[/tex]
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura
Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado
Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor y viceversa
Para que se cumpla la relación:
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Datos
[tex]\bold{ m_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Masa sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{2000 \ kg}[/tex]
[tex]\bold{ r_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo mayor}\ \ \ \bold{2 \ m}[/tex]
[tex]\bold{ r_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo menor}\ \ \ \bold{0.5 \ m}[/tex]
Luego por enunciado sabemos que se desea elevar sobre el émbolo mayor un vehículo cuya masa es de 2000 kilogramos
Siendo
[tex]\bold{ m_{B } = 2000 \ kg }[/tex]
Hallamos la fuerza peso que se ejerce en el émbolo mayor
Por la Segunda Ley de Newton
[tex]\large\boxed{ \bold{ F= m \cdot a }}[/tex]
Donde
[tex]\bold{ m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del cuerpo }[/tex]
[tex]\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional}[/tex]
Siendo
[tex]\bold{ m_B } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{2000 \ kg}[/tex]
[tex]\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional}\ \ \ \bold{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{F_{B} = 2000 \ kg \cdot 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{F_{B} = 19600 \ kg \cdot \frac{m}{s^{2} } }}[/tex]
[tex]\bold{1 \ N = 1 \ kg \cdot \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 19600 \ N }}[/tex]
La fuerza ejercida en el émbolo mayor es de 19600 N
Evaluamos las superficies de los émbolos
Determinamos la superficie o área del émbolo mayor
Émbolo Mayor
El émbolo mayor tiene un radio de 2 metros
Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo
[tex]\boxed{ \bold{S = \pi \cdot r ^2} }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \cdot (2 \ m ) ^2 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \cdot 4 \ m ^2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{S_{B} = 4 \pi \ m ^2 }}[/tex]
La superficie o área del émbolo mayor es de 4 π metros cuadrados
Hallamos la superficie o área del émbolo menor
Émbolo Menor
El émbolo menor tiene un radio de 0.5 metros
Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo
[tex]\boxed{ \bold{S = \pi \cdot r ^2} }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \cdot (0.5 \ m ) ^2 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \cdot 0.25 \ m ^2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{S_{A} = 0.25 \pi \ m ^2 }}[/tex]
La superficie o área del émbolo menor es de 0.25 π metros cuadrados
Calculamos la fuerza que se debe aplicar en el émbolo menor para elevar el cuerpo
Por el Principio de Pascal
[tex]\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}[/tex]
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor}\ \ \ \bold{N}[/tex]
[tex]\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor}\ \ \ \bold{0.25 \ \pi \ m^{2} }[/tex]
[tex]\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{19600 \ N}[/tex]
[tex]\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor}\ \ \ \bold{4 \ \pi \ m^{2} }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ 0.25\ \pi \ m ^{2} } = \frac{ 19600 \ N }{ 4\ \pi \ m ^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 19600 \ N \cdot 0.25\ \pi \ m ^{2} }{ 4\ \pi \ m ^{2}} }}[/tex]
[tex]\textsf{Cancelamos unidades }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 19600 \ N \cdot 0.25 \not \pi \not m ^{2} }{ 4\not \pi \not m ^{2}} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{19600 \cdot 0.25 }{4} \ N }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{4900 }{4} \ N }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ F_{A} =1225 \ N }}[/tex]
Luego la fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo menor para elevar el cuerpo es de 1225 N
