Tema circunferencia: Hallar la ecuación de la circunferencia de diametro el segmento que une los puntos (-3, 5) y (7,-3).

Dado que el diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y donde los puntos extremos o finales se encuentran en la circunferencia del círculo.

Los puntos extremos dados del diámetro son los puntos o pares ordenados A(-3,5) y B(7,-3)

Luego debemos hallar el centro del círculo, el cual al ser el radio la mitad del diámetro:

El punto central del círculo está dado por el punto medio entre los dos puntos extremos del diámetro conocidos

Por tanto

Determinamos las coordenadas del centro del círculo

Hallando el punto medio entre los puntos extremos A(-3,5) y B(7,-3) para determinar el centro

Empleamos la fórmula del punto medio para hallar el punto medio del diámetro y con él el centro del círculo

[tex]\large\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{x_{1} + x_{2} }{2}\ , \frac{y_{1} + y_{2} }{2} \right)}}[/tex]

Reemplazamos los valores para

[tex]\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}[/tex]

[tex]\bold{ A (-3,5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ (x_{1},y_{1} ) }[/tex]

[tex]\bold{ B (7,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ (x_{2},y_{2} ) }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{-3+7 }{2} \ , \frac{5-3 }{2} \right)}}[/tex]

[tex]\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{4 }{2} \ , \ \frac{2 }{2} \right)}}[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(2 ,1 \right)}}[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold { C\ ( 2, 1) }}[/tex]

Luego el centro del círculo está dado por el punto C (2,1)

Hallamos el radio del círculo

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro -el cual determinamos en el inciso anterior- y uno de los puntos extremos dados por enunciado

Tomando entonces los puntos C(2,1) y A(-3,5)

Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo

[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]

[tex]\bold{ C (2,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to (x_{1},y_{1} ) }[/tex]

[tex]\bold{ A (-3,5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to (x_{2},y_{2} ) }[/tex]

Reemplazamos los valores para

[tex]\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}[/tex]

[tex]\bold { radio = \sqrt{((-3)-2 )^{2} +(5-1)^{2} } }[/tex]

[tex]\bold { radio = \sqrt{(-3-2 )^{2} +(5-1)^{2} } }[/tex]

[tex]\bold { radio = \sqrt{(-5)^{2} +4^{2} } }[/tex]

[tex]\bold { radio = \sqrt{25 + 16 } }[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { radio =\sqrt{41} \ unidades } }[/tex]

El valor del radio es igual a √41 unidades

Determinamos la ecuación de la circunferencia solicitada

La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen está dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Donde (h, k) son las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo C (2,1) y el valor del radio de la circunferencia es de √41 unidades -hallados en los incisos anteriores-

Siendo el centro el punto:

[tex]\bold { C \ (2,1) \ \ (h, k)}[/tex]

Y el radio:

[tex]\bold { radio =\sqrt{41} \ unidades }[/tex]

Determinamos la ecuación ordinaria de la circunferencia

Reemplazando en la ecuación:

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Los valores conocidos de (h, k) = C (2,1) y el radio = √41 unidades

[tex]\bold { (x-(2))^2+(y-(1))^2= \left(\sqrt{41} \right) ^{2} }[/tex]

[tex]\bold { (x-2)^2+(y-1)^2= \left(\sqrt{41} \right) ^{2} }[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y-1)^2=41 }}[/tex]