Análisis del Límite
Tenemos el siguiente límite:
lim (x->1) (√(x+3) - 2) / (1 - √(3x-2))
Al sustituir directamente x=1, obtenemos una indeterminación del tipo 0/0, lo cual indica que debemos aplicar alguna técnica para resolverlo.
Resolución del Límite
1. Racionalización:
Una técnica común para resolver indeterminaciones con raíces es la racionalización. En este caso, racionalizaremos tanto el numerador como el denominador.
Racionalizando el numerador:
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador:
lim (x->1) [(√(x+3) - 2) * (√(x+3) + 2)] / [(1 - √(3x-2)) * (√(x+3) + 2)]
Al multiplicar, obtenemos:
lim (x->1) (x+3 - 4) / [(1 - √(3x-2)) * (√(x+3) + 2)]
Simplificando:
lim (x->1) (x-1) / [(1 - √(3x-2)) * (√(x+3) + 2)]
Racionalizando el denominador:
Repetimos el proceso con el denominador, multiplicando por su
conjugado:
lim (x->1) (x-1) / [(1 - √(3x-2)) * (√(x+3) + 2) * (1 + √(3x-2)) / (1 + √(3x-2))]
Simplificando:
lim (x->1) (x-1) / [(1 - (3x-2)) * (√(x+3) + 2) * (1 + √(3x-2))]
lim (x->1) (x-1) / [(-3x+3) * (√(x+3) + 2) * (1 + √(3x-2))]
lim (x->1) (x-1) / [-3(x-1) * (√(x+3) + 2) * (1 + √(3x-2))]
2. Simplificación y evaluación:
Se simplifica el factor común (x-1) en el numerador y denominador:
lim (x->1) -1 / [3 * (√(x+3) + 2) * (1 + √(3x-2))]
Ahora, podemos evaluar el límite sustituyendo x=1:
-1 / [3 * (√(1+3) + 2) * (1 + √(3*1-2))] = -1 / [3 * (2 + 2) * (1 + 1)] = -1/24
Conclusión:
El límite del ejercicio es:
lim (x->1) (√(x+3) - 2) / (1 - √(3x-2)) = -1/24
Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 1 es -1/24.
Resumen de los pasos:
Identificar la indeterminación.
Racionalizar tanto el numerador como el denominador.
Simplificar la expresión.
Evaluar el límite en el punto indicado.
Al seguir estos pasos, hemos eliminado la indeterminación y encontrado el valor del límite.
