Respuesta :
La regla de Ruffini procede del teorema del residuo el cual establece que una raíz de un polinomio será aquélla que lo divida enteramente, es decir, sin resto.
Si el polinomio P(x) es dividido por (x-a) y el residuo de la división es 0, entonces a es una raíz del polinomio.
Veamos un ejemplo del caso más sencillo:
x^4+x^3-11x^2-9x+18=0
Tomamos los coeficientes del polinomio en orden decreciente en las potencias de las X.
Estos son: 1,1,-11,-9,18
Buscamos los divisores enteros de 18:
Divisores de 18: +/- {1,2,3,6,9,18}
Escribimos los coeficientes del polinomio y comenzamos con la primera raíz, que debe ser divisor de 18. Como listamos 6*2=12 posibles raíces hay que iterar con ellas hasta hallar la que produzca un residuo R=0. Comecemos con 1:
....| 1 ..... 1 ..... -11 ..... -9 ..... 18
1*| ......... 1 ..... +2 ..... -9 ..... -18
---------- ---------- ---------- ----------------
...... 1 ..... 2 ..... -9 ..... -18 ..... 0 <--------- Resto=0
Entonces x=1 es la primera raíz del polinomio. Fíjate, la regla se aplica así
1. Tomas el primer coeficiente (en nuestro caso era 1) y lo multipicas por tu raíz sospechada (la coloqué como 1*) y ese resultado (1*1=1) se lo sumas al segundo coeficiente (Casualmente era otro 1, 1+1=2).
2. Ahora, tomas ese resultado (el 2) y lo vuelves a multiplicar por la raíz sospechada, el resultado se lo sumas al tercer coeficiente (el -11)... Se vuelve un ciclo iterativo hasta que llegas al último coeficiente. Si la última suma te da cero es porque la raíz sospechada es una raíz verdadera del polinomio.
Para una segunda raíz vuelves a aplicar Ruffini a lo que llevabas hecho, Sigamos con el ejemplo:
....| 1 ..... 1 ..... -11 ..... -9 ..... 18
1*| ......... 1 ..... +2 ..... -9 ..... -18
-------- --------- ---------- ---------- --------
....|. 1 ..... 2 ..... -9 ..... -18 ..... 0 <--------- Resto=0
3*| .......... 3 ...... 15 ..... 18
--------- --------- --------- ----------
......1 ...... 5 ....... 6 ....... 0 <--------- Resto=0
Entonces, tanto 3 como 1 son raíces del polinomio y se factorizan esas raíces como:
(x-1) y (x-3)
Si sigues iterando con el método hallarás que las raíces son:
1,3,-3,-2 por lo cual el polinomio entero puede factorizarse como:
(x-1)(x-3)(x+3)(x+2)
Espero te haya servido la explicación, aunque es un tanto difícil de lograr sin poder cargar imágenes acá.
Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.