Respuesta:
[tex]n = 2[/tex]
Explicación paso a paso:
Por definición de factorial de un número entero positivo, simplificamos la expresión:
[tex]\frac{(n+4)!}{(n+2)!} = \frac{(n+4)(n+4-1)(n+4-2)!}{(n+2)!} = \frac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2)!} = (n+4)(n+3)[/tex]
Sustituyendo en la igualdad [tex]\frac{(n+4)!}{(n+2)!} = 6n + 18[/tex] obtenemos:
[tex](n+4)(n+3) = 6n + 18[/tex]
[tex]n(n)+ n(3) + 4(n) + 4(3) = 6n + 18[/tex]
[tex]n^{2} + 3n+4n+12 = 6n+18[/tex]
[tex]n^{2} +3n+4n-6n+12-18 = 0[/tex]
[tex]n^{2} +n -6 = 0[/tex]
Por Factorización.
[tex]( n+3 ) ( n -2 ) = 0[/tex]
[tex]n+3 = 0[/tex] [tex]n-2 = 0[/tex]
[tex]n = -3[/tex] [tex]n = 2[/tex]
Como el valor " n " es positivo, entonces:
[tex]n = 2[/tex]
Comprobación:
[tex]\frac{(n+4)!}{(n+2)!} = 6n +18[/tex]
[tex]\frac{(2 + 4 ) !}{(2+2)!} = 6(2)+18[/tex]
[tex]\frac{6!}{4!} = 12 + 18[/tex]
[tex]\frac{6*5*4*3*2*1}{4*3*2*1} = 30[/tex]
[tex]\frac{720}{24} =30[/tex]
30 = 30
