Respuesta :
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una progresión aritmética es una sucesión numérica, en la que cada término se obtiene sumando el anterior por una cantidad, llamada diferencia o razón.
Término enésimo
La fórmula para hallar el término enésimo es:
[tex]\large{\boxed{\mathsf{a_{n} = a_{1} + (n - 1) d}}}[/tex]
Donde a₁ es el primer término, aₙ es el último término, d es la diferencia (razón) y n es el número de términos.
Suma de términos
La fórmula para hallar la suma de términos de una progresión aritmética es:
[tex]\large{\boxed{\mathsf{S_{n} = \dfrac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}}}}[/tex]
Donde a₁ es el primer término, aₙ es el último término y n es el número de términos.
El ejercicio pide la suma. Pero para ello, necesitamos, primeramente, hallar el número de términos.
Tenemos:
- a₁ = 45
- aₙ = 108
- d = 3 (aumenta de 3 en 3)
- n = ¿?
Hallamos el número de términos:
[tex]\mathsf{a_{n} = a_{1} + (n - 1) d}[/tex]
[tex]\mathsf{108 = 45 + (n - 1) 3}[/tex]
[tex]\mathsf{108 = 45 + 3n - 3}[/tex]
[tex]\mathsf{108=42 +3n}[/tex]
[tex]\mathsf{108-42 =3n}[/tex]
[tex]\mathsf{66 = 3n}[/tex]
[tex]\mathsf{66 \div 3=n}[/tex]
[tex]\boxed{\mathsf{n = 22}}[/tex]
Ahora sí, empleamos la fórmula para suma de términos de una progresión aritmética:
[tex]\mathsf{S_{n} = \dfrac{(a_{1} + a_{n})n}{2}}[/tex]
[tex]\mathsf{S_{n} = \dfrac{(45 +108)(22)}{2}}[/tex]
[tex]\mathsf{S_{n} = \dfrac{(153)(22)}{2}}[/tex]
[tex]\mathsf{S_{n} = \dfrac{3366}{2}}[/tex]
[tex]\large{\boxed{\mathsf{S_{n} = 1683}}}[/tex]