Hola, aquí va la respuesta
Antes de ir a la prueba, vamos a recordar algunas definiciones y enunciemos algunos "ingredientes" que nos serán de utilidad:
Una sucesión {aₙ} de números reales es creciente si:
[tex]a_{n}[/tex] ≤ [tex]a_{n+1}[/tex] ∀ n ∈ N
Es decir, si hay siempre un termino que sea mayor o igual que el anterior, entonces la sucesión se dice que es creciente
Ej: {aₙ}= n es creciente, ya que 1 ≤ 2 ≤ 3...
Una sucesión {aₙ} converge a L ∈ R, cuando para cualquier ε > 0, va a existir un n₀ ∈ N tal que
║aₙ- L║< ε ; ∀ n ≥ n₀
Es decir una sucesión se va a aproximar a L, cuando para todo ε > 0 arbitrario, encontremos un numero (n₀) a partir del cual la distancia entre los terminos de la sucesión y su limite, sea menor que epsilon
Una sucesión {aₙ} esta acotada superiormente si existe un numero real K tal que:
aₙ ≤ K
Ahora debemos enunciar algunos teoremas que nos servirán para la prueba:
Teorema 1: Toda sucesión convergente esta acotada
Teorema 2: Sea S ⊆ R, denotemos con "s" a una cota superior de S. Entonces s= Sup(S) si y solo si: ∀ ε > 0, ∃ a ∈ S:
s - ε < a ≤ s
Es decir s - ε no puede ser una cota superior del conjunto S
Omitimos la demostración de los teoremas
Como tenemos un "si y solo si", debemos probar primero la ida, es decir: "Si {xₙ} es convergente, entonces esta acotada superiormente"
Luego la vuelta: "Si {xₙ} esta acotada superiormente, entonces es convergente"
Sea {xₙ} una sucesión creciente:
⇒) Supongamos que {xₙ} es convergente. Por Teorema 1, la sucesión estará acotada superiormente (pues la definición de sucesión acotada implica que sea tanto superior como inferiormente)
⬅️) Supongamos que {xₙ} esta acotada superiormente.
Denotemos con "α" al supremo. Entonces por teorema 2:
∀ ε > 0, ∃ m ∈ N tal que:
α - ε < xₘ ≤ α
Para cada n ≥ m, se tiene que
xₘ ≤ xₙ
Sabemos que: xₙ ≤ α , entonces:
xₘ ≤ xₙ ≤ α
A su vez, tenemos: α < α + ε , Entonces:
α - ε < xₘ ≤ xₙ ≤ α < α + ε
Por Transitividad:
α - ε < xₙ < α + ε
Es decir:
║aₙ - α║< ε ⇔ [tex]\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha[/tex]
Habiendo demostrado la ida y la vuelta, quedo demostrado el teorema
Adjunto algunos ejercicios relacionados
Saludoss
