Aplicando el método de integración por partes se obtiene:
[tex]\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~[x^2~-~2\cdot x~+~2] \cdot e^{x~+~4}~+~C }[/tex]
Explicación paso a paso:
Para resolver el ejercicio propuesto aplicaremos el llamado método de integración por partes. Este método es una aplicación de la regla de derivación de un producto, que supone la integral a resolver como uno de los dos sumandos que aparecen en la citada regla. De allí se deduce la fórmula de integración por partes que se observa anexa. En ella U V son funciones derivables e integrables de variable real x.
[tex]\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx}[/tex]
En primer lugar, separamos las partes; o sea, definimos las expresiones U y dV:
[tex]\bold{U~=~x^2\qquad\qquad\qquad dV~=~ e^{x~+~4}~dx}[/tex]
En segundo lugar, calculamos las expresiones dU y V por derivación de U e integración de dV:
[tex]\bold{dU~=~2\cdot x\cdot dx\qquad\qquad dV~=~\int{e^{x~+~4}}\,dx~=~ e^{x~+~4}~+~C}[/tex]
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
[tex]\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x^2\cdot e^{x~+~4}~-~2\cdot \int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx}[/tex]
La nueva integral también debe resolverse por partes, así que se repite el procedimiento:
[tex]\bold{\int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx}[/tex]
Definimos las expresiones U y dV:
[tex]\bold{U~=~x\qquad\qquad\qquad dV~=~ e^{x~+~4}~dx}[/tex]
Calculamos las expresiones dU y V por derivación de U e integración de dV:
[tex]\bold{dU~=~dx\qquad\qquad dV~=~\int{e^{x~+~4}}\,dx~=~ e^{x~+~4}~+~C}[/tex]
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
[tex]\bold{\int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x\cdot e^{x~+~4}~-~\int{e^{x~+~4}}\,dx~=~ x\cdot e^{x~+~4}~-~e^{x~+~4}~+~C}[/tex]
Finalmente,
[tex]\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x^2\cdot e^{x~+~4}~-~2\cdot \int{x\cdot e^{x~+~4}}\,dx \qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~x^2\cdot e^{x~+~4}~-~2[x\cdot e^{x~+~4}~-~e^{x~+~4}]~+~C\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{\int{x^2\cdot e^{x~+~4}}\,dx~=~[x^2~-~2\cdot x~+~2] \cdot e^{x~+~4}~+~C }[/tex]
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