Respuesta:
Si: tanx+cotx=4
calcula: E=sec²x+csc²x
Tan(x)+Cot(x) = 4
Se resta 4 a los lados de la igualdad :
Tan(x)+Cot(x)-4 = 4-4
Tan(x)+Cot(x) = 0
Se reescribe Cot(x) , usando que Cot(x) = ( 1/(Tan(x))) :
Tan(X)+(1/(Tan(X))-4 = 0
Tan(X)/1+(1/(Tan(X))-(4/1) = 0
((Tan²(X)+1)/(1×Tan(X ))-4/1 = 0
((Tan²(X)+1))/(Tan(X))-4/1 = 0
(((1×Tan²(X))-(4(Tan(X))+1)/Tan(X)) = 0
((Tan²(X)-4Tan(X)+1)/Tan(X)) = 0
Se multiplica " Tan(X) " a los dos lados de la igualdad :
Tan(X)((Tan²(X)-4Tan(X)+1)/Tan(X)) = 0(Tan(X))
Así resulta que :
Tan²(X)-4Tan(X)+1 = 0
Como vemos ahora se forma ina ecuación de segundo grado y esta es " Tan²(X)-4Tan(X)+1 = 0 " y para resolverla emplearemos una herramienta matemática llamada " cambio de variable " que nos permite resolver un cálculo de una forma más fácil y en eate caso al usar el cambio de variable se establecera que :
Tan(X) = p
Por lo cual al realizar el cambio de variable la ecuación resultante quedaría así :
p²-4p+1 = 0
La ecuación cuadrática resultante "
p²-4p+1 = 0 " la resolveremos mediante el método de Completación de cuadrados :
Completación de cuadrados :
p²-4p+1 = 0
Se resta " 1 " a los dos lados de la igualdad :
p²-4p+1-1 = 0-1
p²-4p = -1
Se extrae la mitad del término del medio que es 4 :
4 ÷ 2 = 2
Se suma " 2 " elevado al cuadrado a ambos lados de la igualdad :
p²-4p+(2)² = -1+(2)²
p²-4p+4 = -1+4
p²-4p+4 = 3
Se comprime la expresión " p
²-4p+4 " usando que " a²-2a+b² = ( a-b ) ² y así resulta que :
p²-4p+4 = ( p-2 )²
En consecuencia de lo anterior se tiene que :
( p-2 )² = 3
Se saca raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad :
√(p-2) = +-√(3)
p-2 = +-√(3)
Se suma 2 a los dos lados de la igualdad :
p-2+2 = +-√(3)+2
p = +-√(3)+2
Se usa propiedad conmutativa para reordenar los términos :
p = 2+-√(3)
Se halla los valores de " p " :
p1 = 2-√(3)
p2 = 2+√(3)
Se regresa el cambio de variable p = Tan(X) y así se tiene que :
Tan(X) = 2-√(3) y Tan(X) = 2+√(3)
Se determinanos valores de " x " empleando la tangente inversa :
X1 = Tan⁻¹(2-√(3))
X1 = 15°
X2 = Tan⁻¹(2+√(3))
X2 = 75°
Como consecuencia de lo anteriormente realizado se sabe que " X " vale tanto 15° como 75° .
Calculamos E = Sec²(x)+Csc²(x) ; con x1 = 15 ° :
E = Sec²(15°)+Csc²(15°)
E = 1,072+14,928
E = 16
Calculamos E = Sec²(x)+Csc²(x) con x2 = 75 ° :
E = Sec²(75°)+Csc²(75°)
E = 14,928+1,072
E = 16
R// Por lo observado y realizado con anterioridad se sabe que la expresión " E = Sec²(x)+Csc²(x) " vale 16 con los 2 valores de " x. " .
Explicación paso a paso:
