Las ecuaciones canónicas u ordinarias de las elipses son:
[tex]\bf{1.}\hspace{5}\displaystyle \bf{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1}[/tex]
[tex]\bf{2.}\hspace{5} \displaystyle \bf{\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{36}=1}[/tex]
[tex]\bf{3.}\hspace{5}\displaystyle \bf{\frac{(x-1)^2}{45}+\frac{(y-2)^2}{9}=1}[/tex]
La elipse
Una elipse es el lugar geométrico de un punto P que se mueve el plano de tal modo que la suma de las distancias de P a dos puntos F y F' llamados focos, es constante.
La forma de la ecuación canónica de una elipse depende del punto central de la ubicación del eje mayor de la misma. En nuestro caso se tienen tres elipses diferentes.
1. Centro en el origen coordenado, eje mayor sobre X; la ecuación es:
[tex]\displaystyle \bf{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\hspace{10} (1)[/tex]
Donde:
a = semieje mayor = 4
b = semieje menor = (eje mayor)/2 = 6/2 = 3
Sustituyendo datos en la ecuación (1)
[tex]\displaystyle \bf{\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\Longrightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1}[/tex]
2. Centro en el origen coordenado, eje mayor sobre Y; la ecuación es:
[tex]\displaystyle \bf{\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1}\hspace{10} (1)[/tex]
Donde:
a = semieje mayor = 6
b = semieje menor = ¿?
FF' = distancia focal = 2c = 8 ⇒ c = 8/2 = 4
Como: a² = b² + c² ⇒ b² = a² - c² = 6² - 4² = 36 - 16 = 20
Sustituyendo datos en la ecuación (1)
[tex]\displaystyle \bf{\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{6^2}=1\Longrightarrow \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{36}=1}[/tex]
3. Centro en el punto C(1,2), foco en F(7,2), eje mayor paralelo a X y eje menor = 6; la ecuación es:
[tex]\displaystyle \bf{\frac{(x-Cx)^2}{a^2}+\frac{(y-Cy)^2}{b^2}=1}\hspace{10} (1) [/tex]
Donde:
a = semieje mayor = ¿?
b = semieje menor = (eje mayor)/2 = 6/2 = 3
c = distancia centro-foco = 7-1 = 6
Como: a² = b² + c² ⇒ a² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
Sustituyendo datos en la ecuación (1)
[tex]\displaystyle \bf{\frac{(x-1)^2}{45}+\frac{(y-2)^2}{3^2}=1}\Longrightarrow \frac{(x-1)^2}{45}+\frac{(y-2)^2}{9}=1}[/tex]
Para conocer más de elipses, visitar:
brainly.lat/tarea/58232643
