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Reglas de los Exponentes Objetivos de Aprendizaje · Entender las reglas de los exponentes. · Simplificar y resolver expresiones en notación exponencial. Introducción Necesitamos un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas clara y eficientemente. La Notación Exponencial es un ejemplo. Fue desarrollada para expresar multiplicaciones repetidas y para hacer más fácil escribir números largos. Por ejemplo, modelos de crecimiento de poblaciones normalmente usan exponentes para manejar y manipular números grandes que cambian rápido con el tiempo. Para trabajar con exponentes, necesitamos "hablar el lenguaje" y aprender primero algunas reglas. ¿Qué es la Notación Exponencial? La notación exponencial tiene dos partes. La base, como el nombre lo dice, es el número de abajo. La otra parte de la notación es un número pequeño escrito en el superíndice a la derecha de la base, se llama exponente. Abajo hay algunos ejemplos de la notación exponencial Usaremos estos ejemplos para aprender sobre la notación. 103 251 -34 Empecemos con 103. La base es 10. Esto significa que 10 es un factor, y que va a ser multiplicado por sí mismo cierto número de veces. El número preciso de veces está dado por el exponente, el número en el superíndice. En este caso, el exponente es 3, lo que significa que la base 10 será usada como factor 3 veces. Entonces 103 significa 10 • 10 • 10. Ahora sabemos lo que significa 103, pero ¿cómo lo pronunciamos? Tenemos muchas opciones: este término podría decirse como "10 elevado a la tercera potencia" o "10 a la tercera, o "10 al cubo." Las palabras "elevado a la potencia" se insertan entre la base y el exponente para indicar la notación exponencial. Bien. Consideremos 251. ¿Qué significa el exponente 1? Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el mismo valor. Esto tiene sentido cuando pensamos en ello, porque el exponente 1 significa la base es usada como factor sólo una vez. Entonces la base está sola, y 251 es simplemente 25. Esto nos deja con el término -34. Este ejemplo es un poco complicado porque hay un signo negativo. Una de las reglas de la notación exponencial es que el exponente se relaciona sólo con el valor inmediato a su izquierda. Entonces, -34 no significa -3 • -3 • -3 • -3. Significa " el opuesto de 34," o — (3 • 3 • 3 • 3). Si quisiéramos que la base fuera -3, tendríamos que usar paréntesis en la notación: (-3)4. ¿Por qué tan exigentes? Bueno, haz las cuentas: -34 = – (3 • 3 • 3 • 3) = -81 (-3)4 = -3 • -3 • -3 • -3 = 81 Eso es una diferencia importante. Reglas para Calcular Exponentes Hemos aprendido la regla de que el exponente sólo se relaciona con el número directamente a su izquierda a menos que se use un paréntesis — cuando un exponente se encuentra fuera el paréntesis, todo se eleva a esa potencia. Considera el siguiente ejemplo: (5 + 3)2 De acuerdo con el orden de operaciones, debemos primero simplificar lo que está entre paréntesis antes de hacer cualquier otra operación. Entonces sumamos 5 y 3 y luego elevamos la suma, 8, al cuadrado para obtener 64. Otra forma de proceder es reescribir (5 + 3)2 como (5 + 3)(5 + 3), y luego multiplicarlo para obtener una vez más 64. (5 + 3)2 = (8)2 = 8 • 8 = 64 (5 + 3)2 = (5 + 3)(5 + 3) = 5(5 + 3) + 3(5 +3) = 25 + 15 + 15 + 9 = 64 Los paréntesis pueden ser usados de otras formas con la notación exponencial. Por ejemplo, podemos usarlos para describir un término exponencial a una potencia. Por ejemplo, tomemos 52 y lo elevamos a la 4ta potencia. Escribimos eso como (52)4. Cuando un número escrito con la notación exponencial es elevado a una potencia, se llama "la potencia de una potencia." En esta expresión, la base es 52 y el exponente es 4: 52 se usará como factor 4 veces. Podemos reescribir este problema como 52 • 52 • 52 • 52 o (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5). Nota que resulta 5 multiplicado 8 veces. ¿De qué otra forma podemos escribir eso? 58. Esto nos lleva a otra regla. Compara 58 con el término original de (52)4. Nota que el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes originales: 2 • 4 = 8. Un atajo para simplificar la potencia de una potencia es multiplicar los exponentes y usar la misma base. Hay también una regla para combinar dos números en forma exponencial que tienen la misma base. Considera la siguiente expresión: (23)(24) Esto puede reescribirse como (2 • 2 • 2) (2 • 2 • 2 • 2) o 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2. En forma exponencial, escribirías el producto como 27. Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4. Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente sumas los exponentes
