PROBLEMA DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Primero, debemos comprender que una progresión geométrica es aquella sucesión numérica, en la cual, cada término se consigue multiplicando el anterior por una cantidad, llamada razón.
El ejercicio menciona que los ángulos del cuadrilátero forman una progresión geométrica. Esto quiere decir que:
- Al valor del primer ángulo se lo multiplicará por una razón, y se obtendrá el segundo ángulo.
- A este segundo ángulo se lo multiplica por la misma razón, y obtenemos el tercer ángulo.
- Luego, al tercer ángulo se lo multiplica por la razón, hallando el cuarto ángulo.
Podemos denotar al primer ángulo (el menor ángulo) con una variable: x. Éste es el primer término (a₁) de la serie.
Luego, a este ángulo se lo va a multiplicar por una cantidad que llamaremos "r" (razón). De esta manera, obtendremos el segundo término (a₂) de la sucesión.
Así, sucesivamente, multiplicamos el segundo término por la razón "r", obteniendo el tercero.
Siguiendo este proceso, la progresión geométrica quedaría de la siguiente manera:
[tex]\large{\textsf{$ \underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{xr}_{a_{2}}; \underbrace{xr \cdot r}_{a_{3}}; \underbrace{xr \cdot r \cdot r}_{a_{4}} $}}[/tex]
Lo cual se resume en:
[tex]\purple{\Large{\boxed{\mathsf{\underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{xr}_{a_{2}}; \underbrace{xr^{2}}_{a_{3}}; \underbrace{xr^{3}}_{a_{4}}}}}}[/tex]
Ahora, consideremos que el último término es 9 veces el segundo. Lo representamos de la siguiente forma:
[tex]\large{\boxed{\mathsf{xr^{3} = 9xr}}}[/tex]
Resolvemos esta ecuación:
[tex]\large{\textsf{$ xr^{3} = 9xr $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ r^{3} = \dfrac{9xr}{x} $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ r^{3} = 9r $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ \dfrac{r^{3}}{r} = 9 $}}[/tex]
[tex]\small{\text{[En divisi\'{o}n de bases iguales, se restan los exponentes:]}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ r^{3-1} = 9 $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ r^{2} = 9 $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ r = \sqrt{9} $}}[/tex]
[tex]\large{\boxed{\mathsf{r = 3}}}[/tex]
¡Bien! Ya sabemos que la razón es 3. Reemplazamos este valor en nuestra progresión geométrica:
[tex]\large{\textsf{$ \underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{x \cdot 3}_{a_{2}}; \underbrace{x \cdot 3^{2}}_{a_{3}}; \underbrace{x \cdot 3^{3}}_{a_{4}} $}}[/tex]
Resultando:
[tex]\purple{\Large{\boxed{\mathsf{\underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{3x}_{a_{2}}; \underbrace{9x}_{a_{3}}; \underbrace{27x}_{a_{4}}}}}}[/tex]
Excelente. Ahora, falta hallar el ángulo "x". Para ello, recordemos que la suma de ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Los ángulos del cuadrilátero son:
Sumamos e igualamos a 360°:
[tex]\large{\textsf{$ x + 3x + 9x + 27x = 360^{\circ} $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ 40x = 360^{\circ} $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ x = 360^{\circ} \div 4 $}}[/tex]
[tex]\large{\textsf{$ x = 360^{\circ} \div 40 $}}[/tex]
[tex]\red{\large{\boxed{\mathsf{x = 9^{\circ}}}}}[/tex]
El menor ángulo mide 9°. Hallemos la medida de todos los ángulos del cuadrilátero:
- x = 9°
- 3x = 3(9°) = 27°
- 9x = 9(9°) = 81°
- 27x = 27(9°) = 243°
Comprobemos. Su suma es igual a 360°:
[tex]\large{\textsf{$ 9^{\circ} + 27^{\circ} + 81^{\circ} + 243^{\circ} = 360^{\circ} $\ \ \ \checkmark}}[/tex]
Y el cuarto ángulo es 9 veces el segundo:
[tex]243^{\circ} = 9(27^{\circ})[/tex]
[tex]\boxed{243^{\circ} = 243^{\circ}}\ \ \checkmark[/tex]
Es correcto.
Respuesta. El menor ángulo mide 9°.
[tex]\small{\textsf{[Te adjunto el cuadril\'{a}tero con las medidas reales de los \'{a}ngulos]}}[/tex]
