Respuesta :
a) El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la pelota es de 4.16 segundos
b) La velocidad con que la pelota llega al suelo es de 40.77 metros por segundo (m/s)
Se trata de un problema de caída libre
En la caída libre un objeto cae verticalmente desde cierta altura H
Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad. Con aceleración constante hacia abajo, debida al efecto de la gravedad
Donde la velocidad cambia continuamente, dado que el proyectil acelera en su descenso. Y se constata que el cambio de velocidad es el mismo en cada intervalo de tiempo, por ser la aceleración constante
Estableciendo un sistema de referencia donde el eje de coordenadas es vertical, dado que el cuerpo siempre se encuentra sobre el eje Y
Donde no presenta el proyectil velocidad inicial [tex](\bold { V_{y} = 0 ) }[/tex] dado que parte del reposo, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.
Inicialmente su posición es [tex]\bold {y_{0} = H }[/tex]
Solución
a) Hallamos el tiempo que tarda la pelota en caer determinando el tiempo de vuelo
Como en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la siguiente ecuación:
[tex]\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold {y = 0}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large \textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ g \ . \ t^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2\ .\ H =g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{ 2 \ . \ H \ }{g} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{ \frac{ 2 \ . \ H }{g} } }}[/tex]
Considerando la altura H desde donde se dejó caer el cuerpo [tex]\bold{H = 85 \ metros}[/tex]
[tex]\textsf{Consideramos el valor de la gravedad de } \bold {9.8 \ \frac {m} {s^{2} } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{ \frac{ 2 \ . \ 85 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{ \frac{ 170 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{ 17.346938775 \ s^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = 4.164965 \ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 4.16 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo de la pelota es de 4.16 segundos
b) Hallamos la velocidad con que la pelota llega al suelo
Empleamos la siguiente ecuación de MRUV
[tex]\large\boxed {\bold { V_{f} = V_{0} + \ g \ .\ t }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { V_{f} } \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad final }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { g }\ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la aceleraci\'on gravitatoria}[/tex]
[tex]\bold { t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es el tiempo }[/tex]
Dado que en una caída libre el cuerpo parte del reposo por tanto la velocidad inicial es igual a cero [tex]\bold {V_{0} = 0 }[/tex]
[tex]\large\textsf{ Quedando la ecuaci\'on reducida a: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{f} = \ g \ .\ t }}[/tex]
Por lo tanto la velocidad final depende de la gravedad y el tiempo de vuelo
[tex]\large\textsf{Tomamos el tiempo de vuelo de 4.16 segundos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V_{f} = {V_{y} =g . \ t }}}[/tex]
[tex]\large\textsf{ Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { {V_{y} =9.8 \ \frac{m}{s^{\not2} } \ . \ 4.16 \not s }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { {V_{y} =40.768 \ \frac{m}{s} }}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_{y} =40.77 \ \frac{m}{s} }}}[/tex]