Respuesta: a) Los planos son secantes.
b) El ángulo entre los planos es ∅ ≈ 14,4583°.
Explicación paso a paso: Tenemos que los planos π1 y π2 son
π1 : x - y + 3z = 12
π2: x - 3y + 5z = 2
Para saber si son planos paralelos, se divide cada coeficiente del primer plano entre los correspondientes coeficientes del segundo plano. Si los cocientes son iguales, los planos son paralelos:
Entonces:
Coeficientes de π1 : 1 , - 1 y 3
Coeficientes de π2 : 1 , -3 y 5
Cocientes: 1/1, -1/-3 , 3/5 . Son diferentes. Los planos son secantes.
b) El vector normal de π1 es N1 = i - j + 3k
El vector normal de π2 es N2= i - 3j+5k
El ángulo ∅ entre los planos es tal que
Cos ∅ = (N1 . N2)/[║N1║ ║N2║] ................... (*)
Se sabe que N1 . N2 = (i - j + 3k) . (i - 3j+5k) = (1.1)+[(-1).(-3)] + 3.5 = 19
Además, ║N1║ = √[(1)²+(-1)²+3²] = √11 y ║N2║= √[1²+(-3)²+5²] = √35
Por tanto, ║N1║║N2║ = √11 x √35 = √385
Al sustituir en la expresión (*), nos queda:
Cos ∅ = 19/√385 ≈ 0,9683 ⇒ ∅ ≈ Arc Cos (0,9683)
∅ ≈ 14,4583°
