Respuesta :
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Explicación paso a paso:
Ejercicios de Análisis Matemático
Números complejos
1. Calcula la parte real e imaginaria de
z
1 C z
2
donde z 2C n fi; i g.
Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos para ello
z D x C iy con x; y 2R. Tenemos que
z
1 C z
2
D
x iy
1 C .x C iy/
2
D
x iy
1 C x
2 y
2 C 2xyi
D
.x iy/.1 C x
2 y
2 2xyi/
.1 C x
2 y
2/
2 C 4x2y
2
D
D
x C x
3 3xy2 C i.y 3x2y C y
3
/
.1 C x
2 y
2/
2 C 4x2y
2
D
D
x C x
3 3xy2
.1 C x
2 y
2/
2 C 4x2y
2
C i
y 3x2y C y
3
.1 C x
2 y
2/
2 C 4x2y
2
Luego
Re
z
1 C z
2
D
x C x
3 3xy2
.1 C x
2 y
2/
2 C 4x2y
2
; Im
z
1 C z
2
D
y 3x2y C y
3
.1 C x
2 y
2/
2 C 4x2y
2
©
2. Calcula
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
.2 C i
p
5/.1 C i
p
3/
3
p
5 C i
p
3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
.
Solución. Como lo que nos piden es el módulo no es preciso realizar las operaciones indicadas.
Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es el producto de los módulos y, por tanto,
el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
.2 C i
p
5/.1 C i
p
3/
3
p
5 C i
p
3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D
ˇ
ˇ2 C i
p
5
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ1 C i
p
3
ˇ
ˇ
3
ˇ
ˇ
p
5 C i
p
3
ˇ
ˇ
D 6
p
2
©
3. Calcula los números complejos z tales que w D
2z i
2 C iz
es
a) Un número real;
b) Un número imaginario puro.
Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2R. Tenemos que
w D
2x C i.2y 1/
2 y C ix
D
.2x C i.2y 1//.2 y ix/
.2 y/
2 C x
2
D
3x C i.2x2 2y2 C 5y 2/
.2 y/
2 C x
2
Por tanto, w es real si, y sólo si
2x2 2y2 C 5y 2 D 0 ” x
2 C .y 5=4/
2 D 9=16
Es decir, z está en la circunferencia de centro .0; 5=4/ y radio 3=4.
Análogamente, w es imaginario puro si, y sólo si, x D 0, es decir, z está en el eje imaginario. ©
Dpto. de Análi