Factorizar una expresión algebraica consiste en convertirla en el producto de sus factores.
En la factorización de polinomios pueden presentar diversos casos.
⇝ Que todos los términos tengan un factor común.
[tex]18 {x}^{5} + 12 {x}^{3} + 27x[/tex]
Observando el polinomio, vemos que todos los términos tienen como mayor factor 3x.
En efecto,
- [tex]18x^{5} = 3x~\cdot~6x^{4}[/tex]
- [tex]12x^{3}= 3x~\cdot~4x^{2}[/tex]
- [tex]27x = 3x + 9[/tex]
Así pues tendremos:
[tex]18x {}^{5} + 12x {}^{3} + 27x = 3x(6 {x}^{4} + 4x {}^{2} + 9)[/tex]
⇝ Que se tenga un trinomio que sea cuadrado perfecto.
Se dice que una expresión es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra expresión, es decir, cuando coincide con el producto de dos factores iguales.
Así pues, para descomponer factorialmente un trinomio que sea cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio, y se separan ambas raíces con el signo del segundo término. El binomio asi obtenido se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Al factorizar [tex]{x}^{2} + 10x + 25[/tex]
Tendremos.
[tex] {x}^{2} + 10x + 25 = (x + 5) {}^{2} [/tex]
⇝ Que se tenga una diferencia de cuadrados.
Para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los términos, seguidamente se aperturan dos pares de paréntesis para así reescribir dentro las raíces cuadradas obtenidas.
Entonces:
[tex]{x}^{2} - 49[/tex]
[tex]x {}^{2} - 49 = (x + 7)(x - 7)[/tex]
El último polinomio también será resuelto por factor común.
[tex]6 {x}^{4} + 48x {}^{3} + 96 {x}^{2} [/tex]
Observando el polinomio vemos que todos los términos tienen como mayor factor 3x².
En efecto:
- [tex]6x^{4}=6x^{2}~\cdot~x^{2}[/tex]
- [tex]48x^{3}=6x^{2}~\cdot~8x[/tex]
- [tex]96x^{2}=6x^{2}~\cdot~16[/tex]
Así pues tendremos:
[tex]6x {}^{4} + 48x {}^{3} + 96 {x}^{2} = 6 {x}^{2} ( {x}^{2} + 8x + 16)[/tex]
