Respuesta:
Explicación paso a paso:
El valor de n para que se cumpla que m.c.m.(a,b) = 12m.c.d.(a,b), es igual a 2 .
Datos:
A = 45 × 60ⁿ
B = 60 × 45ⁿ
m.c.m.(a,b) = 12m.c.d.(a,b)
Descomposición de A en sus factores primos
A = 45 × 60ⁿ
A = 3² × 5 × (2² × 3 × 5)ⁿ
A = 2²ⁿ × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹
Descomposición de B en sus factores primos
B = 60 × 45ⁿ
B = 2² × 3 × 5 × (3² × 5)ⁿ
B = 2² × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹
Cálculo del Máximo Común Múltiplo (m.c.m.): Comunes y no comunes con su mayor exponente
2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹
Cálculo del Máximo Común Divisor (m.c.d.) : Comunes con su menor exponente
2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹
Cálculo de n
mcm(a,b) = 12mcd(a,b)
2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹ = 12(2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹)
2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹ = 2² × 3 × (2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹)
2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹ = 2⁴ × 3ⁿ⁺³ × 5ⁿ⁺¹
Mediante la propiedad de la igualdad de miembros podemos establecer:
2n = 4
n = 2
Comprobando:
A = 45 × 60²
A = 162000
B = 60 × 45²
B = 121500
mcm = 2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹
mcm = 2⁴ × 3⁵ × 5³
mcm = 16 × 243 × 125
mcm = 486000
mcd = 2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹
mcd = 2² × 3⁴ × 5³
mcd = 4 × 81 × 125
mcd = 40500
486000 ÷ 40500 = 12
Con un valor de n igual a 2, el m.c.m.(a,b) = 12m.c.d.(a,b)