Explicación paso a paso:
Resolución:
[tex]2^{x-1}+\frac{1}{2^{x-3}} =5[/tex]
[tex]2^x*2^{-1}+\frac{1}{2^{x}*2^{-3}}=5[/tex]
Hacemos un cambio de variable donde:
[tex]a = 2^x[/tex]
Operamos:
[tex]a*2^{-1}+\frac{1}{a*2^{-3}}=5[/tex]
[tex]\frac{a}{2} +\frac{1}{\frac{a}{2^3} }=5[/tex]
[tex]\frac{a}{2} +\frac{2^3}{a} =5[/tex]
[tex]\frac {a(a)+2(2^3)}{2a}=5[/tex]
[tex]\frac{a^2+2^4}{2a}=5[/tex]
[tex]a^2+16=5(2a)[/tex]
[tex]a^2+16=10a[/tex]
[tex]a^2-10a=-16[/tex]
[tex]a^2-10a+(5)^2-(5)^2=-16[/tex]
[tex]a^2-10a+25-25=-16[/tex]
[tex](a-5)^2=-16+25[/tex]
[tex](a-5)^2=9[/tex]
[tex]\sqrt{(a-5)^2}=\sqrt{9}[/tex]
[tex]|a-5|=3[/tex]
Sacamos raíces:
[tex]a_1=3+5[/tex] [tex]a_2=-3+5[/tex]
[tex]a_1=8[/tex] [tex]a_2=2[/tex]
Deshacemos el cambio de variable:
[tex]2^{x}=8[/tex] [tex]2^x=2^1[/tex]
[tex]2^x=2^3[/tex] [tex]2^x=2^1[/tex]
Soluciones:
x = 3 x = 1
