Respuesta :
Respuesta:Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja de cartón de 16 cm de ancho y 22 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.
Calcular el lado del cuadrado por el cual se obtiene una caja de volumen máximo usando criterio de la primer derivada.
Hola!!!
Comenzamos haciendo un esquema de la caja dándole notaciones Matemáticas a sus parámetros:
L = Largo
a = ancho
h = altura
Llamamos " X " al lado del cuadrado de las esquinas; por lo tanto los parámetros en función de " X " quedan:
L = 22 - 2x
a = 16 - 2x
h = x
Sabemos que el Volumen de un Prisma de base Rectangular:
V = L × a × h ⇒
V = (22 - 2X)(16 - 2X)×X ⇒
V = (352 - 44X - 32X + 4X²)×X ⇒
V = 4X³ - 76X² + 352X Función Objetivo
Debemos hallar el Dominio de valores para el cual es lógico calcular dicho volumen:
Partimos de: V = (22 - 2X)(16 - 2X)×X y lo estudiamos por factor ⇒
22 - 2x > 0 ⇒
22 > 2x ⇒
22/2 > x ⇒
11 > X ⇒
x < 11
16 - 2X > 0 ⇒
16 > 2x ⇒
16/2 > x ⇒
8 > x ⇒
X < 8
X > 0
Por lo tanto debemos estudiar estas 3 regiones de desigualdad y hallar su solución (Ver grafico adjunto)
Dominio: x ∈ (0 ; 8) ; 0 < X < 8
Ahora hallamos la derivada primera de la Función Objetivo:
V = 4X³ - 76X² + 352X ⇒
V' = 12X² - 152X + 352
Igualo a cero la Derivada Primera y resuelvo por la fórmula General:
X = (-b+-√b²-4×a×c)/2×a ⇒
Soluciones:
X₁ = 9,62
X₂ = 3,05
X₁ = 9,62 queda fuera del Dominio.
X₂ = 3,05 esta dentro del Dominio.
Con la Derivada Segunda podemos comprobar que este Punto Relativo es un Máximo.
V' = 12X² - 152X + 352 ⇒
V" = 24X - 152
Sustituyo en la ecuación de la derivada segunda el valor de " X " hallado anteriormente, teniendo en cuenta que:
Si f(x) < 0 ⇒ Concavidad Negativa ⇒ que el punto critico es un Máximo
V" = 24X - 152
V" = 24(3,05) - 152
V" = -78,8 < 0 ⇒ Máximo
Por lo tanto la medida del cuadrado que Maximiza el volumen de la caja es:
X = 3,05 Lado del cuadrado
Si queremos hallar el Volumen Máximo, sustituimos " X " en la Ecuación Objetivo del Volumen:
V.max. = 4X³ - 76X² + 352X
V.max. = 4(×3,15)²- 76×(3,15)² + 352×(3,05)
V.max. = 480 cm²
Dejo 2 archivos adjuntos con esquemas y mas cálculos.
Espero haber ayudado!!!
Saludos!!!
Explicación paso a paso:
Las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo, en decímetros, son:
[tex]\bold{x~=~2\cdot\sqrt[3]{\dfrac{28}{15}}\qquad y~=~2\cdot \sqrt[3]{\dfrac{700}{3}}\qquad z~=~ \dfrac{1}{4}\sqrt[3]{\dfrac{63}{10}}}[/tex]
¿Cómo se obtiene el costo mínimo de la caja?
La función objetivo es el costo de construcción de la caja (C) basado en el área superficial de la misma.
Si llamamos z la altura de la caja, y una de las longitudes del fondo y x la otra longitud del fondo de la caja, el área superficial de la caja viene dada por:
[tex]\bold{\acute{A}rea~superficial~=~x\cdot y~+~2\cdot x \cdot z~+~2\cdot y \cdot z}[/tex]
La función objetivo viene dada por la suma del costo de los cuatro lados y el fondo, esto se obtiene multiplicando el área del fondo por $6, el área de dos de las caras por $5 y el área de los otros dos lados por $4:
[tex]\bold{C~=~ (6)\cdot x\cdot y~+~(5)\cdot 2\cdot x \cdot z~+~(4)\cdot 2\cdot y \cdot z}[/tex]
Lo conveniente es que el Costo esté expresado solo en función de dos variables, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar z en función de x y:
[tex]\bold{V~=~x\cdot y\cdot z~=~14\qquad \Rightarrow\qquad z~=~\dfrac{14}{x\cdot y}}[/tex]
por tanto la función objetivo es
[tex]\bold{C~=~ (6)\cdot x \cdot y~+~\dfrac{140}{y}~+~\dfrac{112}{x}}[/tex]
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar parcialmente la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen este sistema de ecuaciones son los puntos críticos de C.
[tex]\bold{\dfrac{\partial C}{\partial x}~=~(6)\cdot y~-~\dfrac{112}{x^2}}[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{\partial C}{\partial y}~=~(6)\cdot x~-~\dfrac{140}{y^2}}[/tex]
Construimos un sistema de ecuaciones homogéneo, al igualar las derivadas a cero
[tex]\bold{\left \{ {{(6)\cdot y~-~\dfrac{112}{x^2}~=~0} \atop {(6)\cdot x~-~\dfrac{140}{y^2}~=~0}} \right. }[/tex]
Resolviendo el sistema, el punto crítico o posible extremo de la función es:
[tex]\bold{x~=~2\cdot\sqrt[3]{\dfrac{28}{15}}\qquad y~=~2\cdot \sqrt[3]{\dfrac{700}{3}}\qquad z~=~ \dfrac{1}{4}\sqrt[3]{\dfrac{63}{10}}}[/tex]
Segundo, hallamos las derivadas de segundo orden que nos permitirán decidir si el punto crítico es un máximo o un mínimo.
[tex]\bold{H~=~\dfrac{\partial^2 C}{\partial y^2}\cdot \dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2}~-~[\dfrac{\partial^2 C}{\partial y\partial x}]^2}[/tex]
[tex]\bold{H~=~[\dfrac{224}{x^3}]\cdot [\dfrac{280}{y^3}]~-~[6]^2}[/tex]
Tercero, evaluamos el Hessiano en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
El Hessiano H en el punto crítico es negativo y la segunda derivada con respecto a x en primera y segunda oportunidad es positiva, por lo que el punto en cuestión es un mínimo.
Las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo, en decímetros, son:
[tex]\bold{x~=~2\cdot\sqrt[3]{\dfrac{28}{15}}\qquad y~=~2\cdot \sqrt[3]{\dfrac{700}{3}}\qquad z~=~ \dfrac{1}{4}\sqrt[3]{\dfrac{63}{10}}}[/tex]
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