La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje real vertical es
[tex]\bold{17y^2~-~27x^2~-~180~=~0}[/tex]
¿Cuál es la ecuación canónica de la hipérbola de eje real vertical?
La ecuación canónica de una hipérbola de eje real vertical es:
[tex]\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~-~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}[/tex]
donde:
- (h, k) centro de la hipérbola
- a distancia del centro a los vértices reales
- b distancia del centro a los vértices imaginarios
Con los puntos (4, 6) y (1, -3) construimos dos ecuaciones, por sustitución en la ecuación canónica, para hallar los valores de a y b, recordando que (h, k) = (0, 0).
[tex]\bold{\dfrac{(6~-~0)^2}{a^2}~-~\dfrac{(4~-~0)^2}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \bold{\dfrac{36}{a^2}~-~\dfrac{16}{b^2}~=~1}}[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{(-3~-~0)^2}{a^2}~-~\dfrac{(1~-~0)^2}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \bold{\dfrac{9}{a^2}~-~\dfrac{1}{b^2}~=~1}}[/tex]
Resolvemos por el método de sustitución, despejando de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera
[tex]\bold{\dfrac{9}{a^2}~-~\dfrac{1}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{1}{b^2}~=~\dfrac{9}{a^2}~-~1}}[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{36}{a^2}~-~\dfrac{16}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{36}{a^2}~-~16\cdot(\dfrac{9}{a^2}~-~1)~=~1\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{-\dfrac{108}{a^2}~+~16~=~1\qquad\Rightarrow\qquad a^2~=~\dfrac{36}{5}\qquad\Rightarrow\qquad a~=~6\cdot\sqrt{~\dfrac{1}{5}}}[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{1}{b^2}~=~\dfrac{9}{a^2}~-~1\qquad\Rightarrow\qquad b^2~=~4\qquad\Rightarrow\qquad b~=~2}[/tex]
Ahora sustituimos en la ecuación canónica de la hipérbola
[tex]\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~-~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1 \qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{(y~-~0)^2}{\dfrac{36}{5}}~-~\dfrac{(x~-~0)^2}{4}~=~1}[/tex]
La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje real vertical es
[tex]\bold{5y^2~-~9x^2~-~36~=~0}[/tex]
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