Respuesta :
La elipse dada en ecuación general, cuya gráfica se anexa,
x² - 4x + 36y² + 216y + 292 = 0
tiene por ecuación canónica
[tex]\bold{\dfrac{(x~-~2)^2}{(6)^2}~+~(y~+~3)^2~=~1}[/tex]
Con centro en el punto (2, -3), vértices en: (-4, -3) (8, -3) (2, -4) (2, -2) y focos en (2 - √35, -3) (2 + √35, -3)
¿Cuál es la ecuación canónica de una elipse de eje mayor horizontal?
La ecuación canónica de una elipse de eje mayor horizontal viene dada por las expresión:
[tex]\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}[/tex]
donde:
- (h, k) centro de la elipse
- a distancia del centro al vértice sobre el eje mayor
- b distancia del centro al vértice sobre el eje menor
La elipse está dada en ecuación general, así que usaremos la completación de cuadrados para reescribir como ecuación canónica.
x² - 4x + 36y² + 216y + 292 = 0
x² - 4x + 36(y² + 6y) + 292 = 0
[(x - 2)² - 4] + 36[(y + 3)² - 9] + 292 = 0
(x - 2)² + 36(y + 3)² - 36 = 0
[tex]\bold{\dfrac{(x~-~2)^2}{(6)^2}~+~(y~+~3)^2~=~1}[/tex]
La elipse tiene eje mayor horizontal con centro en el punto (2, -3) y distancia centro vértice en el eje mayor de 6 unidades y sobre el eje menor de 1 unidad.
Los vértices serán: (-4, -3) (8, -3) (2, -4) (2, -2)
La relación de distancias es a² = b² + c² donde c es la distancia centro foco. Sustituyendo:
36 = 1 + c² de aquí c = √35
Los focos serán (2 - √35, -3) (2 + √35, -3)
La gráfica está anexa.
Tarea relacionada:
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