La carga que equilibra el sistema tiene que estar a una distancia D/2 de -q en dirección opuesta a la dirección de la carga +4q, y tiene que ser positiva y de valor +q.
Para que el sistema esté en equilibrio, la suma de las fuerzas en cada una de las cargas tiene que ser nula. Por un lado, la carga -q, para la cual vamos a adoptar la posición x=0, es atraída por la carga +4q, en la posición x=D, la fuerza ejercida por Qx sobre ella tiene que compensar a la atracción de la segunda carga:
[tex]k\frac{q.4q}{D^2}-k\frac{q.Q_x}{x^2}=0\\\\\frac{4q}{D^2}-\frac{Q_x}{x^2}=0[/tex]
También la fuerza ejercida por Qx sobre la carga +4q tiene que compensar a la atracción ejercida por la carga -q:
[tex]-k\frac{q.4q}{D^2}+k\frac{q.Q_x}{(x+D)^2}=0\\\\\frac{4q}{D^2}-\frac{Q_x}{(x+D)^2}=0[/tex]
Comparando las dos ecuaciones que obtuvimos podemos calcular la posición de la carga Qx:
[tex]\frac{Q_x}{x^2}=\frac{Q_x}{(x+D)^2}\\\\\frac{1}{x^2}=\frac{1}{(x+D)^2}\\\\(x+D)^2=x^2\\\\x^2+2Dx+D^2=x^2\\\\D^2+2Dx=0\\\\D(D+2x)=0[/tex]
Con lo cual, la tercera carga tiene que estar en la posición x=-D/2, o sea, a la izquierda de -q suponiendo que +4q esté a la derecha. A partir de cualquiera de las dos ecuaciones iniciales podemos hallar la magnitud de la carga:
[tex]\frac{4q}{D^2}-\frac{Q_x}{(\frac{D}{2})^2}=0\\\\\frac{4q}{D^2}-\frac{4Q_x}{D^2}=0\\\\4q=4Q_x\\Q_x=q[/tex]
La carga Qx tiene que atraer hacia sí a la carga -q y repeler a la carga +4q, por lo que tiene que ser positiva.
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