Respuesta :
El costo de una libra de nueces es de $ 1
El costo de una libra de chispas de chocolate es de $ 3.5
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema:
Basándonos en lo se ha abonado respectivamente por las dos ventas que se han realizado en la tienda
Mediante las ecuaciones determinaremos el costo de una libra de nueces y el costo de una libra de chispas de chocolate
Llamamos variable "x" al costo de una libra de nueces y variable "y" al costo de una libra de chispas de chocolate
Donde sabemos que:
Para la primera venta realizada en la tienda se adquirieron 3 libras de nueces y 8 libras de chispas de chocolate pagando por esto un importe total de $ 31
Y donde luego en una segunda venta en la tienda se compraron 5 libras de nueces y 2 libras de chispas de chocolate abonando por esto un importe total de $ 12
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Para la primera venta realizada en la tienda sumamos las 3 libras de nueces compradas y las 8 libras de chispas de chocolate adquiridas para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad abonada por esta primera venta
[tex]\large\boxed {\bold {3x + 8y =31 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego hacemos el mismo procedimiento para la segunda venta efectuada en la tienda donde sumamos las 5 libras de nueces compradas y las 2 libras de chispas de chocolate adquiridas para establecer la segunda ecuación igualándola al monto pagado por esta segunda venta
[tex]\large\boxed {\bold {5x + 2y = 12 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
En [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {5x + 2y = 12 }}[/tex]
Despejamos y
[tex]\boxed {\bold {2y = 12 - 5x }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not2y}{\not2} = \frac{12}{2} - \frac{5x}{2} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 6- \frac{5x}{2} }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 6- \frac{5x}{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {3x + 8y =31 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3x+8 \cdot \left(6-\frac{5x}{2} \right) =31 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3x+48 -\frac{40x}{2} = 12 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3x -\frac{40x}{2} +48 = 31 }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3x -20x +48 = 31 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {-17x +48=31 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {-17x = 31-48 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -17x =-17}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x =\frac{-17}{-17} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 1 }}[/tex]
El costo de una libra de nueces es de $ 1
Hallamos el costo de una libra de chispas de chocolate
Reemplazando el valor hallado de x en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 6- \frac{5x}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = 6- \frac{5\cdot1}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = 6- \frac{5}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = 6\cdot\frac{2}{2} - \frac{5}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{12}{2} - \frac{5}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{7}{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 3.5 }}[/tex]
El costo de una libra de chispas de chocolate es de $ 3.5
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3x + 8y =31 }}[/tex]
[tex]\bold { 3 \ lb \ nueces \cdot \$ \ 1 + 8\ lb \ chispas\ chocolate \cdot \$ \ 3.5 = \$ \ 31 }[/tex]
[tex]\bold {\$\ 3 + \$\ 28 = \$\ 31}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 31 = \$\ 31 }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {5x + 2y = 12 }}[/tex]
[tex]\bold { 5 \ lb \ nueces \cdot \$ \ 1 + 2\ lb \ chispas\ chocolate \cdot \$ \ 3.5 = \$ \ 12 }[/tex]
[tex]\bold {\$\ 5 + \$\ 7 = \$\ 12}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 12 = \$\ 12}}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan
Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos
