Respuesta :
La longitud del radio de la circunferencia que puede trazarse con los valores proporcionados es de aproximadamente 10.14 centímetros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera
Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el lado BC (a) y el lado AC (b) equivalen a las medidas de los dos brazos del compás, formando los dos brazos entre sí un ángulo de 50°-ubicado en el vértice C-. Y el lado AB (c) resulta ser la longitud del radio de la circunferencia que puede trazarse con la abertura que posee dicho compás, -la cual es nuestra incógnita. Nótese que como los brazos del compás son de igual longitud se tiene un triángulo isósceles, por ende los ángulos opuestos a ambos brazos del compás A y B tendrán el mismo valor.
Donde se pide hallar el radio de la circunferencia que puede trazarse con la abertura que tiene el compás
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\large\textsf{Brazo del Comp\'as 1 }[/tex]
[tex]\bold{a = 12 \ cm}[/tex]
[tex]\large\textsf{Brazo del Comp\'as 2 }[/tex]
[tex]\bold{b = 12 \ cm}[/tex]
[tex]\large\textsf{\'Angulo de Apertura del Comp\'as }[/tex]
[tex]\bold{C =50^o}[/tex]
Ver gráfico adjunto
Calculamos el radio de la circunferencia que puede trazarse para la abertura del compás proporcionada
Para hallar la longitud del radio de la circunferencia que puede trazarse con dicha abertura vamos a aplicar el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Determinamos la longitud del radio de la circunferencia que puede trazarse con el ángulo de abertura brindado
La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)
Conocemos el valor de dos lados del triángulo-que representan las medidas respectivas de los dos brazos de compás, las cuales son iguales- y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la longitud del radio de la circunferencia a trazarse
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =( 12 \ cm)^{2} + (12 \ cm)^{2} - 2 \cdot 12 \ cm \cdot 12 \ cm \cdot cos(50^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 144 \ cm^{2} +144 \ cm^{2} - 288 \ cm^{2} \cdot cos(50^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =288 \ cm^{2} - 288 \ cm^{2} \cdot cos(50^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =288 \ cm^{2} - 288 \ cm^{2} \cdot 0.642787609687 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =288 \ cm^{2} - 185.122831589856 \ cm^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 102.877168410144 \ cm^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{102.877168410144 \ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 102.877168410144\ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c \approx 10.14283 \ cm }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 10.14 \ cm}}[/tex]
La longitud del radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura es de aproximadamente 10.14 centímetros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
