Respuesta :
El auto se encuentra a 32 metros de la base del edificio
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura del edificio junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador en lo alto del edificio avistando -a cierta distancia- a un automóvil detenido en el suelo, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta el punto donde se encuentra el auto -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta el punto donde se encuentra el auto estacionado, el cual es visto con un ángulo de depresión de 37°
Donde se pide hallar:
A qué distancia se encuentra el auto de la base del edificio
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 37° al punto A para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Conocemos la altura del edificio donde se encuentra el observador avistando el auto y de un ángulo de depresión de 37°
- Altura del edificio donde se encuentra el observador = 24 metros
- Ángulo de depresión = 37°
- Debemos hallar la distancia desde el automóvil hasta la base del edificio
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio- donde se sitúa el observador en lo alto del edificio- y conocemos un ángulo de depresión de 37° y debemos hallar a qué distancia de la base del edificio se encuentra el automóvil en el suelo, -la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Razones trigonométricas con ángulos notables
Hallamos la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el automóvil
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =37^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ auto } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(37^o) } } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ 24 \ m }{ tan(37^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ 24 \ m }{ \frac{3}{4} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = 24 \ m \cdot \frac{4}{3} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ auto = \frac{96 }{3} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ al \ auto =32 \ metros } }[/tex]
Por tanto la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el automóvil es de 32 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
