Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, podemos usar el hecho de que las razones son iguales, es decir, \( \frac{A}{a} = \frac{B}{b} = \frac{C}{c} = \frac{D}{d} = k \), donde \( k \) es una constante común. Además, sabemos que la suma de \( A + B + C + D = 45 \) y la suma de \( a + b + c + d = 125 \).
Primero, expresamos \( A, B, C, D \) en términos de \( a, b, c, d \) y \( k \):
\[ A = ak, \quad B = bk, \quad C = ck, \quad D = dk \]
Luego, sustituimos estas expresiones en la ecuación de la suma de \( A + B + C + D \):
\[ ak + bk + ck + dk = 45 \]
\[ k(a + b + c + d) = 45 \]
\[ k \cdot 125 = 45 \]
\[ k = \frac{45}{125} \]
\[ k = \frac{9}{25} \]
Ahora, para encontrar \( \sqrt{Aa}, \sqrt{Bb}, \sqrt{Cc}, \sqrt{Dd} \), necesitamos calcular \( A, B, C, D \) usando el valor de \( k \) que encontramos:
\[ A = ak = a \cdot \frac{9}{25} \]
\[ B = bk = b \cdot \frac{9}{25} \]
\[ C = ck = c \cdot \frac{9}{25} \]
\[ D = dk = d \cdot \frac{9}{25} \]
Y las raíces cuadradas serían:
\[ \sqrt{Aa} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{9}{25}} = a \cdot \frac{3}{5} \]
\[ \sqrt{Bb} = \sqrt{b^2 \cdot \frac{9}{25}} = b \cdot \frac{3}{5} \]
\[ \sqrt{Cc} = \sqrt{c^2 \cdot \frac{9}{25}} = c \cdot \frac{3}{5} \]
\[ \sqrt{Dd} = \sqrt{d^2 \cdot \frac{9}{25}} = d \cdot \frac{3}{5} \]
Finalmente, para hallar \( \frac{2}{3} \) de cada una de estas raíces cuadradas, simplemente multiplicamos por \( \frac{2}{3} \):
\[ \frac{2}{3} \sqrt{Aa} = \frac{2}{3} \cdot a \cdot \frac{3}{5} = \frac{2a}{5} \]
\[ \frac{2}{3} \sqrt{Bb} = \frac{2}{3} \cdot b \cdot \frac{3}{5} = \frac{2b}{5} \]
\[ \frac{2}{3} \sqrt{Cc} = \frac{2}{3} \cdot c \cdot \frac{3}{5} = \frac{2c}{5} \]
\[ \frac{2}{3} \sqrt{Dd} = \frac{2}{3} \cdot d \cdot \frac{3}{5} = \frac{2d}{5} \]
Estos serían los valores de \( \frac{2}{3} \) de las raíces cuadradas de \( Aa, Bb, Cc, Dd \) respectivamente.
