Explicación paso a paso:
Para resolver la ecuación dada, primero expandiremos y simplificaremos ambos lados de la ecuación:
\[
( x + 4 )^2 - 3 ( x - 4 ) = 3x ( x + 1 ) - 4 ( x^2 + 1 )
\]
Expandimos el lado izquierdo:
\[
x^2 + 8x + 16 - 3x + 12 = 3x^2 + 3x - 4x^2 - 4
\]
Simplificamos:
\[
x^2 + 5x + 28 = -x^2 + 3x - 4
\]
Ahora, llevamos todos los términos al mismo lado para tener una ecuación cuadrática:
\[
x^2 + x^2 + 5x - 3x + 28 + 4 = 0
\]
\[
2x^2 + 2x + 32 = 0
\]
Dividimos toda la ecuación por 2 para simplificar:
\[
x^2 + x + 16 = 0
\]
Esta es una ecuación cuadrática que no se puede factorizar fácilmente. Usaremos la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Donde \( a = 1 \), \( b = 1 \), y \( c = 16 \).
Calculamos el discriminante \( b^2 - 4ac \):
\[
(1)^2 - 4(1)(16) = 1 - 64 = -63
\]
El discriminante es negativo, lo que significa que no hay soluciones reales para esta ecuación. Las soluciones son números complejos. Continuamos con la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{-63}}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{63}i}{2}
\]
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es:
\[
\left\{ \frac{-1 + \sqrt{63}i}{2}, \frac{-1 - \sqrt{63}i}{2} \right\}
\]
Estas son las dos soluciones complejas de la ecuación.
