Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura del faro -donde en su parte superior se encuentra el vigía- junto con la superficie -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta cierto punto -ubicado en A- donde se encuentra el marinero del barco -el observador- en su embarcación -el cual es el cateto adyacente al ángulo dado -del cual no se pide hallar su valor- , el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde en su parte superior se halla el vigía, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo-. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la línea visual desde el punto donde se ubica el marinero del barco en la embarcación hasta la cima del faro -donde en su parte superior se encuentra el vigía-, el cual es visto con un ángulo de elevación de 32°- siendo la hipotenusa del triángulo-la cual es nuestra incógnita.
Conocemos la altura de faro- donde se encuentra en lo alto su vigía- y de un ángulo de elevación de 32°
Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del faro- donde en lo alto del mismo se ubica el vigía-, y conocemos un ángulo de elevación de 32° y debemos hallar la longitud de la línea visual del marinero hasta el punto avistado, el cual se encuentra en la cima del faro, donde se halla el vigía -la cual es la hipotenusa del triángulo rectángulo- determinaremos dicha magnitud mediante la razón trigonométrica seno del ángulo α
Relacionamos los datos con el seno del ángulo α [tex]\bold{\alpha =32^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed { \bold { sen(32^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {sen(32^o) = \frac{ altura\ del \ faro }{ longitud \ visual \ marinero } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { longitud \ visual \ marinero = \frac{ altura\ del \ faro }{ sen(32^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { longitud \ visual \ marinero = \frac{135 \ m }{ sen(32^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { longitud \ visual \ marinero = \frac{ 135 \ m }{ 0.529919264233 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { longitud \ visual \ marinero \approx 254.755788 \ metros }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { longitud \ visual \ marinero \approx 254.76\ metros}}[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
