Respuesta:
Para resolver la ecuación \( \sqrt{10x^2 - 5x - 5} + 1 = 3x \), primero aislaremos la raíz cuadrada en un lado de la ecuación:
\[ \sqrt{10x^2 - 5x - 5} = 3x - 1 \]
Ahora, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
\[ 10x^2 - 5x - 5 = (3x - 1)^2 \]
\[ 10x^2 - 5x - 5 = 9x^2 - 6x + 1 \]
Luego, reorganizamos la ecuación para llevar todos los términos a un lado y obtener una ecuación cuadrática estándar:
\[ 10x^2 - 5x - 5 - 9x^2 + 6x - 1 = 0 \]
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática. La factorización de esta ecuación es:
\[ (x + 3)(x - 2) = 0 \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \]
\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
Sin embargo, debemos verificar estas soluciones en la ecuación original para asegurarnos de que no sean soluciones extrínsecas debido al paso de elevar al cuadrado. Al sustituir \( x = -3 \) y \( x = 2 \) en la ecuación original, encontramos que:
Para \( x = -3 \):
\[ \sqrt{10(-3)^2 - 5(-3) - 5} + 1 \neq 3(-3) \]
\[ \sqrt{90 + 15 - 5} + 1 \neq -9 \]
\[ \sqrt{100} + 1 \neq -9 \]
\[ 10 + 1 \neq -9 \]
\[ 11 \neq -9 \] (no es una solución válida)
Para \( x = 2 \):
\[ \sqrt{10(2)^2 - 5(2) - 5} + 1 = 3(2) \]
\[ \sqrt{40 - 10 - 5} + 1 = 6 \]
\[ \sqrt{25} + 1 = 6 \]
\[ 5 + 1 = 6 \]
\[ 6 = 6 \] (es una solución válida)
Por lo tanto, la única solución válida para la ecuación es \( x = 2 \).
