Respuesta:
Para resolver este problema, primero necesitamos entender qué es el mínimo común múltiplo (MCM) y cómo se relaciona con los factores primos de los números.
El MCM de varios números es el número más pequeño que es múltiplo de cada uno de los números dados.
Primero, descomponemos los números dados en sus factores primos:
\[ \frac{21}{k} = 3 \times 7 \times \frac{1}{k} \]
\[ \frac{7k}{10} = \frac{7}{2} \times 5 \times k \]
\[ \frac{9k}{5} = 3^2 \times \frac{k}{5} \]
Ahora, encontramos el MCM de estos números multiplicando los factores primos con el mayor exponente:
\[ MCM(21/k, 7k/10, 9k/5) = 2^1 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times k \]
Dado que el MCM es igual a 1260, podemos establecer la siguiente ecuación:
\[ 2^1 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times k = 1260 \]
Resolviendo esta ecuación, obtenemos:
\[ k = \frac{1260}{2^1 \times 3^2 \times 5 \times 7} \]
\[ k = \frac{1260}{2 \times 9 \times 5 \times 7} \]
\[ k = \frac{1260}{630} \]
\[ k = 2 \]
Por lo tanto, el valor de \( k \) que hace que se cumpla la ecuación es \( k = 2 \).
