Respuesta:
Para resolver el problema matemático que involucra el triángulo en la imagen, primero necesitamos establecer ecuaciones basadas en las expresiones dadas para los lados del triángulo. Dado que el triángulo es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Las expresiones para los lados del triángulo son:
- Hipotenusa: \( 5x + 4 \)
- Cateto adyacente: \( 3x + 5 \)
- Cateto opuesto: \( 4x + 1 \)
La ecuación basada en el Teorema de Pitágoras sería:
\[ (3x + 5)^2 + (4x + 1)^2 = (5x + 4)^2 \]
Expandiendo y simplificando la ecuación, encontraremos el valor de \( x \). Vamos a resolverlo paso a paso:
1. Expandimos cada término:
\[ (3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25 \]
\[ (4x + 1)^2 = 16x^2 + 8x + 1 \]
\[ (5x + 4)^2 = 25x^2 + 40x + 16 \]
2. Igualamos la suma de los cuadrados de los catetos a la hipotenusa:
\[ 9x^2 + 30x + 25 + 16x^2 + 8x + 1 = 25x^2 + 40x + 16 \]
3. Simplificamos la ecuación:
\[ 25x^2 + 38x + 26 = 25x^2 + 40x + 16 \]
4. Restamos \( 25x^2 \) y \( 40x \) de ambos lados:
\[ 38x + 26 = 16 \]
5. Restamos \( 26 \) de ambos lados:
\[ 38x = -10 \]
6. Dividimos ambos lados entre \( 38 \):
\[ x = -\frac{10}{38} \]
\[ x = -\frac{5}{19} \]
El valor de \( x \) es \( -\frac{5}{19} \), que es el valor que satisface la relación entre los lados del triángulo dado.
