Respuesta :
La distancia desde el faro hasta donde se encuentra la embarcación es de aproximadamente 447.85 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde se encuentra el observador en lo alto del faro avistando -a cierta distancia- a una embarcación en el mar, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta el punto donde se encuentra la embarcación -ubicada en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del faro- hasta el punto donde se encuentra la embarcación, la cual es vista con un ángulo de depresión de 15°
Donde se pide calcular:
A qué distancia del faro se encuentra la embarcación
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 15° al punto A para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Esto se puede observar en al gráfico adjunto
Conocemos la altura del faro -donde se encuentra el observador. y de un ángulo de depresión de 15°
- Altura del faro = 120 metros
- Ángulo de depresión = 15°
- Debemos hallar a qué distancia del faro se encuentra la embarcación
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del faro- donde en lo alto del mismo se sitúa el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 15° y debemos hallar a qué distancia del faro se encuentra la embarcación en el mar, -la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Hallamos la distancia desde el faro hasta donde se encuentra la embarcación
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =15^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(15^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(15^o) = \frac{ altura \ del \ faro }{ distancia \ a \ la \ embarcacion } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ embarcacion= \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(15^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ embarcacion= \frac{ 120 \ m }{ tan(15^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ embarcacion = \frac{120 \ m }{ 0.267949192431 } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ embarcacion \approx 447.846 \ m } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ embarcacion \approx 447.85 \ metros } }[/tex]
Por tanto la distancia desde el faro hasta donde se encuentra la embarcación es de aproximadamente 447.85 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
