Respuesta :
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Para la función f(x) = 3x² en el intervalo [0,2], primero calcularemos la suma de Riemann por la izquierda y por la derecha.
Por la izquierda:
Δx = (2-0)/n = 2/n
Los puntos de la izquierda son: x₀=0, x₁=2/n, x₂=4/n, ..., xₙ=2
La suma de Riemann por la izquierda será:
Σ [f(xᵢ)Δx] desde i=0 hasta n-1
= 3(0)²(2/n) + 3(2/n)²(2/n) + 3(4/n)²(2/n) + ... + 3(2-2/n)²(2/n)
= 4(3/n³)Σi² desde i=0 hasta n-1
= 4(3/n³)[n(n-1)(2n-1)/6]
= 2(3/n³)[n(n-1)(2n-1)]
= 3(2n-1)(n-1)
Por la derecha:
Δx = (2-0)/n = 2/n
Los puntos de la derecha son: x₁=2/n, x₂=4/n, ..., xₙ=2
La suma de Riemann por la derecha será:
Σ [f(xᵢ)Δx] desde i=1 hasta n
= 3(2/n)²(2/n) + 3(4/n)²(2/n) + ... + 3(2)²(2/n)
= 4(3/n³)Σi² desde i=1 hasta n
= 4(3/n³)[n(n+1)(2n+1)/6]
= 2(3/n³)[n(n+1)(2n+1)]
= 3(2n+1)(n+1)
El área bajo la curva se encuentra en el intervalo [0,2]. Para calcular la integral por sumas de Riemann, se puede utilizar el límite de las sumas de Riemann a medida que n tiende a infinito. Finalmente, se puede graficar la función f(x) = 3x² en el intervalo [0,2] para visualizar el área bajo la curva. ¡Espero que esta explicación te sea útil!