Respuesta:
Para determinar el valor de x de modo que x-3, x-1 y 2x-1 formen una progresión geométrica de 3 términos, primero recordemos que una progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando el término anterior por una constante común.
En una progresión geométrica, si los términos son a, ar y ar^2, entonces se cumple que (ar)/a = (ar^2)/ar. Es decir, la razón entre cada término consecutivo es constante y es igual a r.
En este caso, tenemos los términos x-3, x-1 y 2x-1. Entonces, debemos asegurarnos de que la razón entre cada término consecutivo sea la misma.
La razón entre el segundo y primer término es (x-1)/(x-3).
La razón entre el tercer y segundo término es (2x-1)/(x-1).
Entonces, para que formen una progresión geométrica, estas dos razones deben ser iguales. Es decir:
(x-1)/(x-3) = (2x-1)/(x-1)
Ahora podemos resolver esta ecuación para encontrar el valor de x:
(x-1)(x-1) = (x-3)(2x-1)
Expandiendo:
x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 7x + 3
0 = x^2 - 5x + 2
Ahora podemos resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
Donde a = 1, b = -5, y c = 2.
Calculando:
x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*1*2)) / (2*1)
x = (5 ± √(25 - 8)) / 2
x = (5 ± √17) / 2
Por lo tanto, los valores de x que hacen que x-3, x-1 y 2x-1 formen una progresión geométrica son:
x = (5 + √17) / 2
y
x = (5 - √17) / 2
