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Para determinar el valor de \( x \) para que el punto \( R(x, x + 1) \) sea equidistante de los puntos \( A(2, 1) \) y \( B(-6, 5) \), podemos utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos en un plano.
La fórmula de distancia entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) en un plano es:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
En este caso, la distancia entre \( R \) y \( A \) debe ser igual a la distancia entre \( R \) y \( B \). Entonces, tenemos:
Para el punto \( R \) y \( A \):
\[ \sqrt{(x - 2)^2 + (x + 1 - 1)^2} \]
Para el punto \( R \) y \( B \):
\[ \sqrt{(x - (-6))^2 + (x + 1 - 5)^2} \]
Estas dos distancias deben ser iguales:
\[ \sqrt{(x - 2)^2 + (x)^2} = \sqrt{(x + 6)^2 + (x - 4)^2} \]
Ahora, podemos elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas:
\[ (x - 2)^2 + x^2 = (x + 6)^2 + (x - 4)^2 \]
Expande ambos lados de la ecuación:
\[ (x^2 - 4x + 4) + x^2 = (x^2 + 12x + 36) + (x^2 - 8x + 16) \]
\[ 2x^2 - 4x + 4 = x^2 + 12x + 36 + x^2 - 8x + 16 \]
\[ 2x^2 - 4x + 4 = 2x^2 + 4x + 52 \]
Ahora, podemos simplificar y resolver para \( x \):
\[ 0 = 8x + 48 \]
\[ -8x = 48 \]
\[ x = -6 \]
Por lo tanto, el valor de \( x \) que hace que el punto \( R(x, x + 1) \) sea equidistante de los puntos \( A(2, 1) \) y \( B(-6, 5) \) es \( x = -6 \).