contestada

Se sabe que la recta L1 pasa por el punto p= (5, -9), ademas se sabe que L1 es peroendicular a la recta L2. ¿Cual es la ecuación de la recta L1 si se tiene que la ecuación de la recta L2 es 4x - 8y + 9

Respuesta :

arkyta

La ecuación de la recta L1 -perpendicular a L2- que pasa por el punto P(5,-9) está dada por:

Expresada en la Forma Explícita:

[tex]\large\boxed {\bold { y =-2 x +1 }}[/tex]

Expresada en la Forma General:

[tex]\large\boxed {\bold { 2x + y -1 = 0 }}[/tex]

Sea la recta L2:

[tex]\large\boxed {\bold { 4x-8y +9= 0 }}[/tex]

Se solicita hallar una recta L1 perpendicular a la dada y que pase por el punto P(5,-9)

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

[tex]\boxed {\bold { 4x -8y+9= 0 }}[/tex]

Resolvemos para y

[tex]\boxed {\bold { -8y=-4x-9 }}[/tex]

[tex]\textsf{Multiplicamos la ecuaci\'on por -1 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 8y=4x+9 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \frac{\not8y}{\not8} =\frac{4x}{8} +\frac{9}{8} }}[/tex]

[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y =\frac{1}{2} x +\frac{9}{8} }}[/tex]

Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = \frac{1}{2} }}[/tex]

La pendiente de la recta dada L2 es igual a 1/2

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex]

[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ \frac{1}{2} } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- 1\cdot \frac{2}{1} }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- 1\cdot 2 }}[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = -2 }}[/tex]

Concluyendo que cualquier recta perpendicular a la dada -L2- debe tener una pendiente cuyo valor será m = -2

Hallamos la recta L1 perpendicular a la dada -L2- que pasa por el punto o par ordenado P(5,9)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada

Cuya forma está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = -2 es la pendiente. Como conocemos el punto P (5,-9) tomaremos x1 = 5 e y1 = -9

Por tanto:

[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - 2 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold{ P (5,-9) }[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y - (-9) = -2 \cdot (x - (5) )}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y +9 = -2\cdot (x-5 )}}[/tex]

Reescribimos la ecuación de la recta L1 -perpendicular a la dada L2- que pasa por el punto P(5,-9) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

[tex]\boxed {\bold { y +9 = -2\cdot (x-5 )}}[/tex]

Resolvemos para y

[tex]\boxed {\bold { y +9 = -2x+10}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y= -2x+10-9 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y =-2 x +1 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta L1 perpendicular a la dada -L2- y que pasa por el punto P(5,-9) en la forma explícita

Reescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y =-2 x +1 }}[/tex]

[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y+2 x -1=0 }}[/tex]

[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { 2x + y -1 = 0 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícita

Siendo las dos rectas perpendiculares

Se agrega gráfico como archivo adjunto

Ver imagen arkyta