Respuesta:
Para determinar cuántos valores enteros puede tomar la variable \( x \) en la siguiente inecuación \( x^2 - 2x \leq 2 \), primero resolvemos la inecuación:
\[ x^2 - 2x \leq 2 \]
1. Restamos \( 2 \) de ambos lados:
\[ x^2 - 2x - 2 \leq 0 \]
2. Ahora, resolvemos la desigualdad cuadrática encontrando los puntos críticos donde la expresión cambia de signo:
\[ x^2 - 2x - 2 = 0 \]
Usando la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 1 \), \( b = -2 \), y \( c = -2 \), obtenemos:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]
Entonces, los puntos críticos son \( x = 1 + \sqrt{3} \) y \( x = 1 - \sqrt{3} \). Estos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos:
1. \( x < 1 - \sqrt{3} \)
2. \( 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} \)
3. \( x > 1 + \sqrt{3} \)
Ahora, probamos un valor en cada intervalo para determinar en qué intervalos la inecuación es verdadera y, por lo tanto, cuántos valores enteros puede tomar \( x \).
- Para \( x = 0 \) (en el primer intervalo): \( (0)^2 - 2(0) - 2 = -2 \), que es menor o igual a \( 2 \), por lo que este intervalo cumple.
- Para \( x = 1 \) (en el segundo intervalo): \( (1)^2 - 2(1) - 2 = -3 \), que no cumple la inecuación.
- Para \( x = 3 \) (en el tercer intervalo): \( (3)^2 - 2(3) - 2 = 3 \), que cumple la inecuación.
Por lo tanto, la inecuación \( x^2 - 2x \leq 2 \) es verdadera para todos los valores enteros de \( x \) en el intervalo \( x \leq 1 - \sqrt{3} \) y en el intervalo \( x \geq 1 + \sqrt{3} \).
En cuanto a la cantidad de valores enteros, en cada uno de estos intervalos hay infinitos valores enteros, ya que se extienden a lo largo de toda la recta numérica.
