Respuesta :
## Cálculo de la velocidad promedio y velocidad instantánea
**Ecuación de posición:**
x(t) = 2 + 6t^2
**a) Velocidad promedio entre t = 2s y t = 3s:**
**1. Cálculo del desplazamiento:**
Δx = x(3) - x(2) = (2 + 6 * 3^2) - (2 + 6 * 2^2) = 32 - 14 = 18 m
**2. Cálculo del intervalo de tiempo:**
Δt = t_f - t_i = 3 s - 2 s = 1 s
**3. Cálculo de la velocidad promedio:**
v_prom = Δx / Δt = 18 m / 1 s = 18 m/s
**b) Velocidad promedio entre t = 2s y t = 2.1s:**
**1. Cálculo del desplazamiento:**
Δx = x(2.1) - x(2) = (2 + 6 * 2.1^2) - (2 + 6 * 2^2) = 25.44 - 14 = 11.44 m
**2. Cálculo del intervalo de tiempo:**
Δt = t_f - t_i = 2.1 s - 2 s = 0.1 s
**3. Cálculo de la velocidad promedio:**
v_prom = Δx / Δt = 11.44 m / 0.1 s = 114.4 m/s
**c) Velocidad promedio entre t = 2s y t = 2.01s:**
**1. Cálculo del desplazamiento:**
Δx = x(2.01) - x(2) = (2 + 6 * 2.01^2) - (2 + 6 * 2^2) = 24.2406 - 14 = 10.2406 m
**2. Cálculo del intervalo de tiempo:**
Δt = t_f - t_i = 2.01 s - 2 s = 0.01 s
**3. Cálculo de la velocidad promedio:**
v_prom = Δx / Δt = 10.2406 m / 0.01 s = 1024.06 m/s
**d) Velocidad promedio entre t = 2s y t = 2.001s:**
**1. Cálculo del desplazamiento:**
Δx = x(2.001) - x(2) = (2 + 6 * 2.001^2) - (2 + 6 * 2^2) = 24.006006 - 14 = 10.006006 m
**2. Cálculo del intervalo de tiempo:**
Δt = t_f - t_i = 2.001 s - 2 s = 0.001 s
**3. Cálculo de la velocidad promedio:**
v_prom = Δx / Δt = 10.006006 m / 0.001 s = 10006.006 m/s
**e) Cálculo de la velocidad instantánea en t = 2s:**
La velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo. En este caso:
v(t) = dx/dt = 12t
v(2s) = 12 * 2 = 24 m/s
**Conclusión:**
* La velocidad promedio aumenta a medida que el intervalo de tiempo se reduce.
* La velocidad instantánea en t = 2s es de 24 m/s.
**Interpretación:**
* La partícula se está moviendo cada vez más rápido a medida que avanza el tiempo.
* En el instante t = 2s, la partícula tiene una velocidad de 24 m/s.
**Nota:**
Es importante recordar que la velocidad promedio solo nos da una idea general de la rapidez con la que se mueve la partícula en un intervalo de tiempo determinado. La velocidad instantánea nos da la información precisa de la rapidez con la que se mueve la partícula en un instante específico.
Respuesta:
Explicación:
Para calcular la velocidad promedio en un intervalo de tiempo dado, utilizamos la fórmula:
\[v_{\text{promedio}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]
donde \( \Delta x \) es el cambio en la posición y \( \Delta t \) es el cambio en el tiempo.
Dado que la posición está dada por la función \( x(t) = 2 + 6t^2 \), la velocidad en un instante específico se puede encontrar derivando la función con respecto al tiempo \( t \), es decir, \( \frac{dx}{dt} \).
Vamos a calcular cada velocidad promedio:
a. \( t = 2s \) a \( t = 3s \)
\[ \Delta t = 3s - 2s = 1s \]
\[ \Delta x = x(3s) - x(2s) = (2 + 6(3)^2) - (2 + 6(2)^2) = 56 - 38 = 18 \]
\[ v_{\text{promedio}} = \frac{18}{1} = 18 \text{ m/s} \]
b. \( t = 2s \) a \( t = 2.1s \)
\[ \Delta t = 2.1s - 2s = 0.1s \]
\[ \Delta x = x(2.1s) - x(2s) = (2 + 6(2.1)^2) - (2 + 6(2)^2) \]
\[ = 48.84 - 38 = 10.84 \]
\[ v_{\text{promedio}} = \frac{10.84}{0.1} = 108.4 \text{ m/s} \]
c. \( t = 2s \) a \( t = 2.01s \)
\[ \Delta t = 2.01s - 2s = 0.01s \]
\[ \Delta x = x(2.01s) - x(2s) = (2 + 6(2.01)^2) - (2 + 6(2)^2) \]
\[ = 48.24 - 38 = 10.24 \]
\[ v_{\text{promedio}} = \frac{10.24}{0.01} = 1024 \text{ m/s} \]
d. \( t = 2s \) a \( t = 2.001s \)
\[ \Delta t = 2.001s - 2s = 0.001s \]
\[ \Delta x = x(2.001s) - x(2s) = (2 + 6(2.001)^2) - (2 + 6(2)^2) \]
\[ = 48.024 - 38 = 10.024 \]
\[ v_{\text{promedio}} = \frac{10.024}{0.001} = 10024 \text{ m/s} \]
Para calcular la velocidad instantánea en \( t = 2s \), derivamos la función \( x(t) \) con respecto a \( t \) y evaluamos en \( t = 2s \):
\[ x(t) = 2 + 6t^2 \]
\[ \frac{dx}{dt} = 12t \]
\[ \frac{dx}{dt}\Bigg|_{t=2} = 12(2) = 24 \text{ m/s} \]
Entonces, la velocidad instantánea de la partícula en \( t = 2s \) es de \( 24 \text{ m/s} \).