Respuesta :
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Para resolver este problema, primero necesitamos entender cómo se relacionan las rectas paralelas y perpendiculares en términos de sus pendientes.
Dada la ecuación de la recta:
\[ y = \frac{3}{2}x - 4 \]
Sabemos que la pendiente de esta recta es \( \frac{3}{2} \).
a) **Hallar la ecuación de una recta paralela:**
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto, una recta paralela tendría la misma pendiente \( \frac{3}{2} \), pero posiblemente un término de intersección diferente. Entonces, la ecuación de una recta paralela sería de la forma:
\[ y = \frac{3}{2}x + b \]
donde \( b \) es el término de intersección que necesitamos encontrar.
b) **Hallar la ecuación de una recta perpendicular:**
Las rectas perpendiculares tienen pendientes negativas recíprocas. La pendiente de la recta dada es \( \frac{3}{2} \), por lo tanto, la pendiente de la recta perpendicular sería \( -\frac{2}{3} \). Entonces, la ecuación de una recta perpendicular sería de la forma:
\[ y = -\frac{2}{3}x + b \]
donde nuevamente \( b \) es el término de intersección que necesitamos encontrar.
Para encontrar \( b \) en ambos casos, podemos usar el hecho de que la línea pasa por un punto específico. Tomemos el punto (0, -4) que ya conocemos que está en la línea dada.
Sustituyendo este punto en las ecuaciones obtenidas para las rectas paralela y perpendicular, podemos encontrar \( b \) en cada caso.
a) Para la recta paralela:
\[ -4 = \frac{3}{2}(0) + b \]
\[ -4 = 0 + b \]
\[ b = -4 \]
Entonces, la ecuación de la recta paralela es:
\[ y = \frac{3}{2}x - 4 \]
b) Para la recta perpendicular:
\[ -4 = -\frac{2}{3}(0) + b \]
\[ -4 = 0 + b \]
\[ b = -4 \]
Entonces, la ecuación de la recta perpendicular es:
\[ y = -\frac{2}{3}x - 4 \]
c) Para representar las tres rectas en un mismo sistema, puedes graficar la recta dada \( y = \frac{3}{2}x - 4 \), la recta paralela \( y = \frac{3}{2}x - 4 \), y la recta perpendicular \( y = -\frac{2}{3}x - 4 \) en un plano cartesiano.