La Escherichia coli es un tipo de bacteria de forma tubular, la cual afecta exclusivamente a los animales de sangre caliente, entre ellos a los humanos. Se considera la bacteria más común y abundante en los sistemas microbióticos. Aunque estas son necesarias para el correcto desempeño de la digestión, pueden generar infecciones gastrointestinales, incluso en el sistema nervioso. En biología molecular (disciplina encargada de analizar comportamientos de los procesos biológicos de los seres desde un punto de vista molecular) se han realizado estudios con este tipo de bacterias, los cuales permiten evidenciar crecimientos exponenciales, en condiciones especiales. Se calcula que la bacteria crece a una razón exponencial del 100% y cada 20 minutos genera una copia de sí misma, es decir, si al inicio se tiene una bacteria, dentro de 20 minutos se tendrán 2, de estas 2 se producirán 4, y de las 4 se tendrán 8, y así sucesivamente.

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1. Escribe una ecuación que modele el crecimiento de las bacterias Scherichia coli. Traza su gráfica y determina los puntos de corte con los ejes, su dominio y rango.
2. El crecimiento de una población de bacterias en un ambiente controlado está dado por la expresión P(x) = P(1+r), para Po, la población inicial, t, el tiempo en años, y r, la razón de crecimiento por año. Si el cultivo inicial fue de 12 bacterias y estas aumentaban a una razón del 45% anual, ¿en cuánto tiempo se obtendrán 340 bacterias?
3. Si la función del costo de manipulación de un producto para el manejo de las bacterias es C(x)=14 000+5 0 * log_5(x + 1) , para x cantidad de galones del producto, determina el costo fijo y el costo de manipular 4, 24 y 624 galones.

Para trazar la gráfica de esta ecuación, puedes asignar valores a N₀ y luego calcular los valores correspondientes de N(t) para diferentes valores de t. Luego, traza los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, donde el eje x representa el tiempo y el eje y representa la cantidad de bacterias.

Los puntos de corte con los ejes serían:

- Con el eje x (tiempo): Cuando t = 0, N(t) = N₀, lo que significa que en el inicio no hay crecimiento de bacterias.

- Con el eje y (cantidad de bacterias): Cuando N(t) = 0, no hay bacterias presentes.

El dominio de la función es todos los valores reales no negativos, ya que el tiempo y la cantidad de bacterias no pueden ser negativos.

El rango de la función es todos los valores reales positivos, ya que la cantidad de bacterias siempre es mayor a cero.

2. Para resolver este problema, podemos utilizar la expresión dada para el crecimiento de la población de bacterias:

P(x) = P₀ * (1 + r)^t

Donde P(x) representa la cantidad de bacterias en función del tiempo t, P₀ es la población inicial, r es la razón de crecimiento por año y t es el tiempo en años.

En este caso, la población inicial es de 12 bacterias (P₀ = 12) y la razón de crecimiento es del 45% anual (r = 0.45). Queremos encontrar el tiempo t en el cual la población alcanza las 340 bacterias.

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos:

340 = 12 * (1 + 0.45)^t

Dividimos ambos lados de la ecuación por 12:

28.33 = (1.45)^t

Tomamos el logaritmo base 1.45 de ambos lados:

log₁.₄₅(28.33) = t

Usando una calculadora, encontramos que t ≈ 3.14 años.

Por lo tanto, se necesitarán aproximadamente 3.14 años para que la población de bacterias alcance las 340 bacterias.

3. La función del costo de manipulación de un producto para el manejo de las bacterias es:

C(x) = 14,000 + 50 * log₅(x + 1)

Donde C(x) representa el costo de manipular x cantidad de galones del producto.

El costo fijo es de 14,000, ya que este costo no depende de la cantidad de galones del producto.

Para determinar el costo de manipular 4, 24 y 624 galones, simplemente sustituimos los valores en la función:

C(4) = 14,000 + 50 * log₅(4 + 1)

C(24) = 14,000 + 50 * log₅(24 + 1)

C(624) = 14,000 + 50 * log₅(624 + 1)

Calculando estos valores, obtendrás el costo correspondiente a cada cantidad de galones del producto.

Recuerda que log₅(x) es el logaritmo en base 5 de x.