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a. La probabilidad de que los tres ganadores sean mujeres es aproximadamente 0.166375.
b. La probabilidad de que los ganadores sean una mujer, un hombre y una mujer es aproximadamente 0.2695.
Para calcular estas probabilidades, primero necesitamos determinar la probabilidad de que un estudiante sea elegido como ganador en cada categoría de premio. Luego, podemos usar la regla de la multiplicación para calcular la probabilidad de eventos independientes.
Dado que hay 40 estudiantes en total (18 hombres + 22 mujeres):
La probabilidad de que un estudiante sea mujer es \( \frac{22}{40} = 0.55 \).
La probabilidad de que un estudiante sea hombre es \( \frac{18}{40} = 0.45 \).
a. Para calcular la probabilidad de que los tres ganadores sean mujeres, simplemente multiplicamos las probabilidades de que cada ganador sea mujer:
\[ P(\text{mujer, mujer, mujer}) = 0.55 \times 0.55 \times 0.55 \]
\[ P(\text{mujer, mujer, mujer}) = 0.55^3 \]
\[ P(\text{mujer, mujer, mujer}) ≈ 0.166375 \]
b. Para calcular la probabilidad de que los ganadores sean una mujer, un hombre y una mujer, necesitamos considerar todas las posibles combinaciones de género para los tres ganadores. Hay tres premios y dos géneros, por lo que hay \(2^3 = 8\) combinaciones posibles. De esas, solo una combinación tiene un hombre y dos mujeres, y otra combinación tiene dos mujeres y un hombre.
\[ P(\text{mujer, hombre, mujer}) = P(\text{mujer}) \times P(\text{hombre}) \times P(\text{mujer}) \]
\[ P(\text{mujer, hombre, mujer}) = 0.55 \times 0.45 \times 0.55 \]
\[ P(\text{mujer, hombre, mujer}) ≈ 0.13475 \]
Luego, necesitamos multiplicar este resultado por 2 para tener en cuenta ambas combinaciones posibles:
\[ P(\text{mujer, hombre, mujer}) \times 2 ≈ 0.2695 \]
Entonces, la probabilidad de que los ganadores sean una mujer, un hombre y una mujer es aproximadamente 0.2695.
mira si te sirve