Respuesta:
Para resolver la desigualdad \((x^2 + x - 6)(4x - 4 - x^2) \leq 0\), primero factorizaremos ambas expresiones:
Para el primer factor:
\(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\).
Para el segundo factor:
\(4x - 4 - x^2 = -x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x - 2)^2\).
Sustituyendo esta factorización en la desigualdad original, obtenemos:
\((x + 3)(x - 2)(-(x - 2)^2) \leq 0\).
Simplificando, tenemos:
\((x + 3)(x - 2)^2 \geq 0\).
Para determinar los valores de \(x\) que cumplen esta desigualdad, debemos analizar los intervalos en los que cada factor es positivo o negativo. En los puntos \(x = -3, x = 2\) y \(x = 4\), los factores cambian de signo.
Por lo tanto, la solución a la desigualdad dada es:
\(-3 \leq x \leq 2 \quad \text{o} \quad x \geq 4\).
