Explicación paso a paso:
Para determinar los valores de ( k ) que verifican la desigualdad ( -2x² + 12x + 7 - k < 0 ) para todo ( x ) real, podemos utilizar el método del discriminante.
Primero, reescribimos la inecuación en forma de función cuadrática:
[ -2x² + 12x + (7 - k) < 0
Para que esta función cuadrática sea siempre negativa para todo ( x ) real, su parábola debe abrir hacia abajo, lo que significa que el coeficiente principal ( a ) (en este caso, -2) debe ser negativo.
Además, para que la parábola no corte el eje x (es decir, no tenga raíces reales), el discriminante (( ∆ )) debe ser menor que cero.
El discriminante de una función cuadrática de la forma ( ax² + bx + c ) se calcula como (∆ = b² - 4ac).
Entonces, para \( -2x^2 + 12x + (7 - k) < 0 \):
∆ = (12)^2 - 4(-2)(7 - k)
∆ = 144 - 4(-2)(7 - k)
∆ = 144 + 8(7 - k)
∆ = 144 + 56 - 8k
∆ = 200 - 8k
Para que la parábola no tenga raíces reales, ( ∆ < 0 ):
200 - 8k < 0
Resolvemos la desigualdad para ( k ):
200 < 8k
25 < k
Entonces, los valores de \( k \) que verifican la inecuación para todo \( x \) real son aquellos mayores que 25.
